Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz: cắt, song song, nằm trong và bài tập

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz gồm cắt nhau, song song và đường thẳng nằm trong mặt phẳng, xét bằng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và nghiệm của phương trình theo tham số t. Ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12.

$Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz: cắt, song song, nằm trong và bài tập$

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có ba khả năng: đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm, song song với mặt phẳng, hoặc nằm trong mặt phẳng. Với $d$: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ và $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$, thay tọa độ của $d$ vào $(P)$ được phương trình bậc nhất theo $t$.

Cách xét bằng phương trình theo t

Phương trình theo $t$	Kết luận
Có nghiệm duy nhất	$d$ cắt $(P)$
Vô nghiệm	$d$ song song $(P)$
Nghiệm đúng với mọi $t$	$d$ nằm trong $(P)$

Cách khác: so sánh vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$. Nếu $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ thì $d$ cắt $(P)$; nếu $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ thì song song hoặc nằm trong (kiểm tra thêm một điểm của $d$).

Xem bài: Phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ

Ví dụ 1: cắt nhau

$d$: $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2t$ và $(P)$: $x + y + z - 4 = 0$. Thay vào: $t + 1 + t + 2t - 4 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{3}{4}$. Cắt nhau tại một điểm.

Ví dụ 2: song song

$d$: $x = 1 + t$, $y = t$, $z = -2t$ và $(P)$: $x + y + z - 5 = 0$: $1 + t + t - 2t - 5 = -4 \neq 0$, vô nghiệm. Song song.

Ví dụ 3: nằm trong

$d$: $x = t$, $y = t$, $z = 1 - 2t$ và $(P)$: $x + y + z - 1 = 0$: $t + t + 1 - 2t - 1 = 0$ đúng với mọi $t$. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Xem bài: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét $d$: $x = t$, $y = 2t$, $z = 3t$ và $(P)$: $x + y - z + 2 = 0$.
Xét $d$: $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = t$ và $(P)$: $x - z + 5 = 0$.
Xét $d$: $x = t$, $y = 1$, $z = t$ và $(P)$: $x - z = 0$.
Tìm $m$ để $d$: $x = t$, $y = t$, $z = mt$ song song $(P)$: $x + y + z - 1 = 0$ (với $d$ không nằm trong $(P)$).
Tìm giao điểm của $d$: $x = t$, $y = t$, $z = t$ và $(P)$: $x + y + z - 3 = 0$.

Đáp án

$t + 2t - 3t + 2 = 2 \neq 0$, vô nghiệm: song song.
$1 + t - t + 5 = 6 \neq 0$: song song.
$t - t = 0$ đúng với mọi $t$: nằm trong.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 + m = 0 \Rightarrow m = -2$; khi đó điểm $O$ không thuộc $(P)$ nên song song.
$3t - 3 = 0 \Rightarrow t = 1$, giao điểm $(1; 1; 1)$.