Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Oxyz: song song, trùng, cắt, chéo nhau và bài tập
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian Oxyz gồm song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau, xét qua vectơ chỉ phương và nghiệm của hệ phương trình tham số. Các bước nhận biết, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, $d_1$ (VTCP $\vec{u_1}$, qua $M_1$) và $d_2$ (VTCP $\vec{u_2}$, qua $M_2$), có bốn khả năng: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau. Bước đầu tiên là xét $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ có cùng phương hay không.
Các bước nhận biết
- Nếu $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ cùng phương: kiểm tra $M_1 \in d_2$ — nếu có thì trùng nhau, nếu không thì song song.
- Nếu không cùng phương: giải hệ ba phương trình (hai ẩn $t$, $s$) khi cho hai đường thẳng bằng nhau: có nghiệm duy nhất thì cắt nhau, vô nghiệm thì chéo nhau.
| Vị trí | VTCP | Điểm chung |
|---|---|---|
| Trùng nhau | Cùng phương | Vô số |
| Song song | Cùng phương | Không có |
| Cắt nhau | Không cùng phương | Một điểm |
| Chéo nhau | Không cùng phương | Không có |
Xem bài: Phương trình đường thẳng trong không gian
Ví dụ
Ví dụ 1: trùng nhau
$d_1$: $(1; 2; 3) + t(1; 1; 1)$; $d_2$: $(2; 3; 4) + s(1; 1; 1)$. VTCP cùng phương; $M_1(1; 2; 3) = (2; 3; 4) + (-1)(1; 1; 1)$ thuộc $d_2$ nên $d_1$, $d_2$ trùng nhau.
Ví dụ 2: cắt nhau
$d_1$: $x = t$, $y = t$, $z = 0$; $d_2$: $x = 1$, $y = s$, $z = 0$. VTCP $(1; 1; 0)$, $(0; 1; 0)$ không cùng phương. Giải $t = 1$, $t = s$, $0 = 0$: $t = s = 1$ nên cắt nhau tại $(1; 1; 0)$.
Ví dụ 3: chéo nhau
$d_1$: $x = t$, $y = 0$, $z = 0$ (trục $Ox$); $d_2$: $x = 0$, $y = s$, $z = 1$. VTCP $(1; 0; 0)$, $(0; 1; 0)$ không cùng phương; hệ $t = 0$, $0 = s$, $0 = 1$ vô nghiệm nên chéo nhau.
Xem bài: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- $d_1$: VTCP $(1; 2; 3)$, $d_2$: VTCP $(2; 4; 6)$, $M_1(0; 0; 0) \notin d_2$. Quan hệ?
- $d_1$: $x = t, y = 1, z = 0$; $d_2$: $x = 0, y = s, z = 0$. Quan hệ?
- $d_1$: $x = t, y = 0, z = 0$; $d_2$: $x = 0, y = s, z = 2$. Quan hệ?
- Hai đường thẳng có VTCP không cùng phương thì có thể song song không?
- Hai đường thẳng chéo nhau có điểm chung không?
Đáp án
- Song song.
- Hệ $t = 0$, $1 = s$, $0 = 0$ có nghiệm: cắt nhau tại $(0; 1; 0)$.
- Hệ $t = 0$, $0 = s$, $0 = 2$ vô nghiệm: chéo nhau.
- Không.
- Không.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình đường thẳng trong không gian
Bài tiếp theo: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Hai đường thẳng trong không gian có những vị trí nào?
Song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau.
Làm sao phân biệt cắt nhau và chéo nhau?
Giải hệ phương trình: có nghiệm thì cắt, vô nghiệm thì chéo.
Làm sao phân biệt song song và trùng?
Kiểm tra một điểm của đường này có thuộc đường kia không.
Chéo nhau có VTCP cùng phương không?
Không.