Phương trình đường thẳng trong không gian: tham số, chính tắc, vectơ chỉ phương và bài tập có đáp án Toán 12
Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) có vectơ chỉ phương u = (a; b; c): dạng tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct và dạng chính tắc. Cách viết qua hai điểm, kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, ví dụ và bài tập có đáp án.
Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gian $Oxyz$: đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình tham số $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$) và phương trình chính tắc $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$ (khi $a, b, c \neq 0$).
Cách viết phương trình
Ví dụ 1
Qua $A(1; 2; 3)$ với $\vec{u} = (2; -1; 1)$: tham số $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$; chính tắc $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - 3}{1}$.
Ví dụ 2: qua hai điểm
Qua $A(1; 0; 1)$, $B(3; 2; 2)$: VTCP $\overrightarrow{AB} = (2; 2; 1)$. Tham số: $x = 1 + 2t$, $y = 2t$, $z = 1 + t$.
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ
Điểm $M(5; 4; 3)$ có thuộc đường thẳng ở Ví dụ 2 không? $1 + 2t = 5 \Rightarrow t = 2$; $2t = 4 \Rightarrow t = 2$; $1 + t = 3 \Rightarrow t = 2$. Cùng $t = 2$ nên $M$ thuộc đường thẳng.
Ba phương trình phải cho cùng một giá trị $t$.
| Đường thẳng | Vectơ chỉ phương |
|---|---|
| Trục $Ox$ | $(1; 0; 0)$ |
| Trục $Oy$ | $(0; 1; 0)$ |
| Trục $Oz$ | $(0; 0; 1)$ |
| Vuông góc $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ | $(A; B; C)$ |
Đổi giữa các dạng
Từ dạng tham số, rút $t$ ở mỗi phương trình rồi cho bằng nhau được dạng chính tắc. Từ dạng chính tắc đặt tỉ số chung bằng $t$ được dạng tham số.
Xem bài: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(0; 1; 2)$, VTCP $(1; 2; 3)$.
- Viết phương trình đường thẳng qua $A(1; 1; 1)$ và $B(2; 3; 5)$.
- Điểm $(3; 5; 9)$ có thuộc đường thẳng qua $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 5)$ không?
- Tìm một VTCP của $\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{-1} = \dfrac{z}{2}$.
- Đường thẳng qua $O$ vuông góc $(P)$: $x - y + 2z = 0$ có VTCP nào?
Đáp án
- $x = t$, $y = 1 + 2t$, $z = 2 + 3t$.
- VTCP $(1; 2; 4)$: $x = 1 + t$, $y = 1 + 2t$, $z = 1 + 4t$.
- $t = 2$ ở cả ba phương trình ($3 = 1 + 2$, $5 = 1 + 4$, $9 = 1 + 8$): thuộc.
- $\vec{u} = (3; -1; 2)$.
- $(1; -1; 2)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong tọa độ
Bài tiếp theo: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian?
$x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$.
Vectơ chỉ phương là gì?
Vectơ khác $\vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.
Viết qua hai điểm thế nào?
Lấy VTCP $\overrightarrow{AB}$ và điểm đi qua $A$.
Điểm thuộc đường thẳng khi nào?
Khi ba phương trình cho cùng một giá trị $t$.