Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong tọa độ Oxyz: công thức và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong tọa độ Oxyz: d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Cách dùng công thức, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong tọa độ
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong tọa độ $Oxyz$ được tính bằng công thức: với $M(x_0; y_0; z_0)$ và $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì $d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Đây là bản mở rộng của công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng.
Công thức và ví dụ
Ví dụ 1
$M(1; 2; 3)$, $(P)$: $2x - 2y + z - 3 = 0$: $d = \dfrac{|2 - 4 + 3 - 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \dfrac{2}{3}$.
Ví dụ 2
Khoảng cách từ gốc $O$ đến $x + 2y + 2z - 9 = 0$: $\dfrac{|-9|}{3} = 3$.
Xem bài: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Lấy một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này rồi tính khoảng cách đến mặt phẳng kia.
Ví dụ
$(P)$: $x + y + z - 3 = 0$ và $(Q)$: $x + y + z + 3 = 0$. Lấy $A(1; 1; 1) \in (P)$: $d = \dfrac{|1 + 1 + 1 + 3|}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
Ví dụ ứng dụng
Mặt phẳng nằm ngang $z = 0$ và điểm $M(3; 4; 5)$: $d = 5$, chính là độ cao của $M$.
Xem bài: Phương trình đường thẳng trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $d(M, (P))$ với $M(1; 0; 2)$, $(P)$: $x + 2y - 2z + 3 = 0$.
- Tính khoảng cách từ $O$ đến $2x - y + 2z - 6 = 0$.
- Tính khoảng cách giữa $x + y + z = 1$ và $x + y + z = 4$.
- Tìm $m$ để $d(O, (P)) = 1$ với $(P)$: $2x + y + 2z + m = 0$.
- Điểm $M$ thuộc mặt phẳng thì khoảng cách bằng bao nhiêu?
Đáp án
- $\dfrac{|1 + 0 - 4 + 3|}{3} = 0$ (điểm thuộc mặt phẳng).
- $\dfrac{6}{3} = 2$.
- Lấy $A(1; 0; 0) \in$ mặt thứ nhất: $\dfrac{|1 - 4|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
- $\dfrac{|m|}{3} = 1 \Rightarrow m = \pm 3$.
- $0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài tiếp theo: Phương trình đường thẳng trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng?
$\dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song?
Lấy một điểm của mặt này và tính khoảng cách đến mặt kia.
Khoảng cách bằng $0$ khi nào?
Khi điểm thuộc mặt phẳng.
Có cần giá trị tuyệt đối không?
Có.