Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: song song, trùng nhau, cắt nhau, vuông góc và bài tập có đáp án Toán 12

Q: Điều kiện trùng nhau?

Cả bốn hệ số tỉ lệ.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0 dựa vào vectơ pháp tuyến và hệ số tự do: song song, trùng nhau, cắt nhau. Điều kiện vuông góc n·n' = 0, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: song song, trùng nhau, cắt nhau, vuông góc và bài tập có đáp án Toán 12$

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ và $(Q)$: $A'x + B'y + C'z + D' = 0$ được xét qua hai vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$, $\vec{n'} = (A'; B'; C')$ và hệ số tự do. Hai mặt phẳng chỉ có ba khả năng: song song, trùng nhau hoặc cắt nhau.

Điều kiện nhận biết

Vị trí	Điều kiện
Cắt nhau	$\vec{n}$ và $\vec{n'}$ không cùng phương
Song song	$\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} = \dfrac{C}{C'} \neq \dfrac{D}{D'}$
Trùng nhau	$\dfrac{A}{A'} = \dfrac{B}{B'} = \dfrac{C}{C'} = \dfrac{D}{D'}$
Vuông góc	$\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0$, tức $AA' + BB' + CC' = 0$

Xem bài: Phương trình mặt phẳng

Ví dụ

Ví dụ 1: song song

$(P)$: $x + 2y - z + 1 = 0$ và $(Q)$: $2x + 4y - 2z + 5 = 0$ có $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{1}{5}$ nên song song.

Ví dụ 2: trùng nhau

$x - y + z - 2 = 0$ và $2x - 2y + 2z - 4 = 0$ có tỉ lệ $\dfrac{1}{2}$ ở mọi hệ số nên trùng nhau.

Ví dụ 3: cắt nhau, vuông góc

$x + y + z = 0$ và $x - y = 0$: $\vec{n} = (1; 1; 1)$, $\vec{n'} = (1; -1; 0)$ không cùng phương nên cắt nhau; $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 1 - 1 + 0 = 0$ nên vuông góc.

Ví dụ 4: tìm tham số

Tìm $m$ để $(P)$: $mx + y + 2z - 1 = 0$ vuông góc $(Q)$: $2x - y - z + 3 = 0$: $2m - 1 - 2 = 0 \Rightarrow m = \dfrac{3}{2}$.

Vuông góc khi tích vô hướng hai VTPT bằng $0$.

Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét vị trí của $x + y + z - 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0$.
Xét vị trí của $x - 2y + z = 0$ và $2x + y - 3z + 1 = 0$.
Hai mặt phẳng $x + y - z = 0$ và $x - y = 0$ có vuông góc không?
Tìm $m$ để $x + my + z = 0$ vuông góc $2x - y + z + 1 = 0$.
Hai mặt phẳng $2x - y + z - 1 = 0$ và $4x - 2y + 2z - 2 = 0$ có quan hệ gì?

Đáp án

Tỉ lệ $\dfrac{1}{2}$ ở ba hệ số đầu nhưng $\dfrac{-1}{3} \neq \dfrac{1}{2}$: song song.
VTPT $(1; -2; 1)$ và $(2; 1; -3)$ không cùng phương: cắt nhau.
$1 - 1 + 0 = 0$: vuông góc.
$2 - m + 1 = 0 \Rightarrow m = 3$.
Trùng nhau.