Phương trình mặt phẳng: vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 và bài tập có đáp án Toán 12
Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng Ax + By + Cz + D = 0 với vectơ pháp tuyến n = (A; B; C). Cách viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến, qua ba điểm, phương trình theo đoạn chắn, ví dụ và bài tập có đáp án.
Phương trình mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$, trong đó $\vec{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (vectơ khác $\vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng). Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
Viết phương trình khi biết điểm và vectơ pháp tuyến
Ví dụ 1
Mặt phẳng qua $A(1; 2; 3)$ có VTPT $\vec{n} = (2; -1; 1)$:
$2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z - 3 = 0$.
| Mặt phẳng | Phương trình |
|---|---|
| $(Oxy)$ | $z = 0$ |
| $(Oyz)$ | $x = 0$ |
| $(Ozx)$ | $y = 0$ |
| Song song $(Oxy)$ | $z = c$ |
Xem bài: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Mặt phẳng qua ba điểm
- Tính hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ (không cùng phương).
- Tìm VTPT $\vec{n}$ vuông góc với cả hai: giải $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ và $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.
- Viết phương trình qua $A$ với VTPT $\vec{n}$.
Ví dụ 2: đoạn chắn
Mặt phẳng qua $A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 3)$ có dạng $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.
Dạng đoạn chắn $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ cắt ba trục tại $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$.
Ví dụ 3
Qua $A(1; 1; 1)$, $B(2; 1; 0)$, $C(1; 2; 0)$: $\overrightarrow{AB} = (1; 0; -1)$, $\overrightarrow{AC} = (0; 1; -1)$. VTPT $\vec{n} = (1; 1; 1)$ (kiểm tra $1 + 0 - 1 = 0$ và $0 + 1 - 1 = 0$). Phương trình $x + y + z - 3 = 0$.
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết phương trình mặt phẳng qua $M(0; 1; 2)$ có VTPT $(1; 2; 3)$.
- Viết phương trình mặt phẳng qua $A(2; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$, $C(0; 0; 1)$.
- Tìm một VTPT của mặt phẳng $3x - y + 2z + 5 = 0$.
- Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1; 2; 3)$ song song $(Oxy)$.
- Điểm $(1; 1; 1)$ có thuộc mặt phẳng $x + y + z - 3 = 0$ không?
Đáp án
- $x + 2(y - 1) + 3(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 8 = 0$.
- $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + z = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 4z - 4 = 0$.
- $\vec{n} = (3; -1; 2)$.
- $z = 3$.
- Có, vì $1 + 1 + 1 - 3 = 0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Phương trình mặt phẳng có dạng gì?
$Ax + By + Cz + D = 0$.
Vectơ pháp tuyến là gì?
Vectơ khác $\vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng.
Viết phương trình qua ba điểm thế nào?
Tìm VTPT vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ rồi viết qua $A$.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình gì?
$z = 0$.