Góc trong không gian Oxyz: góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng và bài tập có đáp án
Góc trong không gian Oxyz gồm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, tính bằng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến. Công thức cosin, sin, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Góc trong không gian
Góc trong không gian $Oxyz$ được tính qua vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng và vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng. Ba loại góc thường gặp là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng; cả ba đều thuộc khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Ba công thức tính góc
| Góc | Công thức |
|---|---|
| Hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ | $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$ |
| Đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ | $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ |
| Hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ | $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|}$ |
Xem bài: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ
Ví dụ 1: hai đường thẳng
$\vec{u_1} = (1; 1; 0)$, $\vec{u_2} = (0; 1; 1)$: $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ$.
Ví dụ 2: đường thẳng và mặt phẳng
$\vec{u} = (1; 1; 1)$, $\vec{n} = (0; 0; 1)$: $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\varphi \approx 35{,}3^\circ$.
Ví dụ 3: hai mặt phẳng
$(P)$: $x + y = 0$ và $(Q)$: $x = 0$: $\vec{n_P} = (1; 1; 0)$, $\vec{n_Q} = (1; 0; 0)$: $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$.
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính góc giữa hai đường thẳng có VTCP $(1; 0; 0)$ và $(1; 1; 0)$.
- Tính góc giữa $d$ có VTCP $(0; 0; 1)$ và $(P)$: $z = 0$.
- Tính góc giữa $x + y + z = 0$ và $z = 0$ (chỉ ra $\cos\varphi$).
- Hai đường thẳng có VTCP $(1; 2; 2)$ và $(2; -2; 1)$ có vuông góc không?
- Tính $\cos\varphi$ giữa hai mặt phẳng có VTPT $(1; 2; 2)$ và $(0; 0; 3)$.
Đáp án
- $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$.
- $\sin\varphi = 1 \Rightarrow \varphi = 90^\circ$.
- $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
- Tích vô hướng $2 - 4 + 2 = 0$: vuông góc.
- $\cos\varphi = \dfrac{6}{3 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Bài tiếp theo: Phương trình mặt cầu
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai đường thẳng tính thế nào?
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}||\vec{u_2}|}$.
Góc đường thẳng và mặt phẳng dùng sin hay cos?
Dùng sin của VTCP và VTPT.
Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất là bao nhiêu?
$90^\circ$.
Hai đường thẳng vuông góc khi nào?
Khi tích vô hướng hai VTCP bằng $0$.