Phương trình mặt cầu: tâm, bán kính, dạng tổng quát x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 và bài tập có đáp án Toán 12

Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có dạng (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R². Dạng tổng quát, điều kiện a² + b² + c² - d > 0, cách tìm tâm và bán kính, viết phương trình mặt cầu qua điểm, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Phương trình mặt cầu: tâm, bán kính, dạng tổng quát x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 và bài tập có đáp án Toán 12$

Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ trong không gian $Oxyz$ là $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Khai triển được dạng tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$, khi đó tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

Tìm tâm và bán kính

Ví dụ 1

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 9$ có tâm $I(1; -2; 0)$, bán kính $R = 3$.

Ví dụ 2: dạng tổng quát

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$, $d = 5$. $a^2 + b^2 + c^2 - d = 1 + 4 + 9 - 5 = 9 > 0$. Tâm $I(1; -2; 3)$, $R = 3$.

Xem bài: Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 3: biết tâm và một điểm

Tâm $I(1; 0; 0)$, đi qua $A(1; 3; 4)$: $R = IA = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5$. Phương trình $(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 25$.

Ví dụ 4: biết đường kính

Đường kính $AB$ với $A(1; 2; 3)$, $B(3; 4; 5)$: tâm là trung điểm $I(2; 3; 4)$, $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$. Phương trình $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 3$.

Ví dụ 5: tiếp xúc mặt phẳng

Tâm $I(0; 0; 1)$ tiếp xúc $(P)$: $z = 3$: $R = d(I, (P)) = 2$. Phương trình $x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 4$.

Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng khi $R = d(I, (P))$.

Xem bài: Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tâm và bán kính của $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$.
Tìm tâm và bán kính của $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z - 3 = 0$.
Viết phương trình mặt cầu tâm $O$ bán kính $2$.
Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(0; 0; 0)$, $B(2; 0; 0)$.
Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 3 = 0$ có phải mặt cầu không?

Đáp án

$I(-1; 2; 3)$, $R = 4$.
$a = 2$, $b = -1$, $c = 1$, $d = -3$: $R = \sqrt{4 + 1 + 1 + 3} = 3$, $I(2; -1; 1)$.
$x^2 + y^2 + z^2 = 4$.
Tâm $(1; 0; 0)$, $R = 1$: $(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$a = -1$, $d = 3$: $1 - 3 = -2 < 0$, không phải mặt cầu.