Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế: gắn hệ trục Oxyz, mô hình hóa và bài tập có đáp án Toán 12
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế: chọn hệ trục Oxyz phù hợp, mô hình hóa vị trí máy bay, tòa nhà, camera, tính khoảng cách và góc bằng công thức tọa độ. Các bước giải, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế giúp biến một tình huống trong không gian (vị trí máy bay, camera, tòa nhà, mặt phẳng sàn) thành các điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong $Oxyz$, rồi dùng công thức khoảng cách, góc và vị trí tương đối để tìm đáp án.
Các bước giải
- Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho gốc và các trục trùng với các cạnh hoặc đường có sẵn (đặt mặt đất là $z = 0$).
- Xác định đơn vị đo và tọa độ các điểm đã biết.
- Viết phương trình các đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu mô tả vật thể.
- Dùng công thức khoảng cách, góc, giao điểm để tính, rồi đổi về đại lượng thực tế.
Ví dụ
Ví dụ 1: khoảng cách đến mặt đất
Mặt đất là $(Oxy)$: $z = 0$. Máy bay ở $M(300; 400; 1200)$ (đơn vị mét) cách mặt đất $1200$ m.
Ví dụ 2: khoảng cách hai điểm
Hai drone ở $A(0; 0; 50)$ và $B(30; 40; 50)$. $AB = \sqrt{900 + 1600 + 0} = 50$ m.
Ví dụ 3: vùng phủ sóng
Trạm phát sóng ở $I(0; 0; 30)$ phủ vùng cầu bán kính $50$ m: $x^2 + y^2 + (z - 30)^2 \leq 2500$. Điểm $M(20; 30; 30)$ có $400 + 900 = 1300 \leq 2500$ nên nằm trong vùng phủ sóng.
Ví dụ 4: đường bay cắt mặt phẳng
Đường bay $x = 100t$, $y = 0$, $z = 200 - 50t$ cắt mặt đất $z = 0$ khi $t = 4$, tại $(400; 0; 0)$.
Xem bài: Bài tập tổng hợp phương pháp tọa độ trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 3)$ (mét). Tính khoảng cách.
- Camera ở $C(0; 0; 4)$. Điểm $M(3; 4; 0)$ cách camera bao nhiêu mét?
- Mặt sàn $z = 0$. Chiều cao điểm $N(5; 2; 7)$ là bao nhiêu?
- Trạm sóng tâm $O$, bán kính $10$. Điểm $(6; 8; 1)$ có trong vùng phủ sóng không?
- Đường bay $x = t$, $y = 2t$, $z = 10 - 2t$ chạm mặt đất ở đâu?
Đáp án
- $\sqrt{9 + 16 + 0} = 5$ m.
- $\sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}4$ m.
- $7$.
- $36 + 64 + 1 = 101 > 100$: không.
- $z = 0 \Rightarrow t = 5$, điểm $(5; 10; 0)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình mặt cầu
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp phương pháp tọa độ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào bài toán thực tế bắt đầu từ đâu?
Từ việc chọn hệ trục $Oxyz$ thích hợp.
Mặt đất thường đặt thế nào?
Là mặt phẳng $z = 0$.
Vùng phủ sóng biểu diễn bằng gì?
Hình cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \leq R^2$.
Cần lưu ý gì khi kết luận?
Đơn vị đo và ý nghĩa thực tế.