Phương trình lượng giác thường gặp: bậc hai theo một hàm, a sin x + b cos x = c và bài tập có đáp án
Phương trình lượng giác thường gặp gồm phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất theo sin và cos a sin x + b cos x = c và phương trình đưa về tích. Phương pháp giải, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11.
Một số phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác thường gặp ngoài dạng cơ bản $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$ còn có ba dạng quan trọng: phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất theo $\sin x$ và $\cos x$, và phương trình đưa về tích. Mỗi dạng có một cách giải đặc trưng.
Dạng 1: bậc hai theo một hàm số lượng giác
Phương trình $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ (hoặc theo $\cos x$, $\tan x$): đặt $t = \sin x$ với điều kiện $|t| \leq 1$, giải phương trình bậc hai theo $t$ rồi giải các phương trình $\sin x = t$.
Ví dụ
Giải $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Đặt $t = \sin x$ ($|t| \leq 1$): $2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \dfrac{1}{2}$.
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$.
$\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.
Loại các nghiệm $t$ ngoài đoạn $[-1; 1]$.
Xem bài: Phương trình sin x = m
Dạng 2: a sin x + b cos x = c
Ví dụ 1
Giải $\sin x + \cos x = 1$. Ta có $\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ nên $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$.
Vậy $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$.
Ví dụ 2
Giải $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$. Chia cho $2$: $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$.
$x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.
Vậy $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \pi + k2\pi$.
Dạng 3: đưa về phương trình tích
Dùng công thức nhân đôi, biến đổi tổng thành tích để đưa về dạng $A \cdot B = 0$, rồi giải $A = 0$ hoặc $B = 0$.
Ví dụ
Giải $\sin 2x - \cos x = 0$. Ta có $2\sin x\cos x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(2\sin x - 1) = 0$.
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$; $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.
Không chia hai vế cho $\cos x$ vì mất nghiệm.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.
- Giải $\sin x - \cos x = 1$.
- Giải $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 2$.
- Giải $\sin 2x = \sin x$.
- Phương trình $3\sin x + 4\cos x = 6$ có nghiệm không?
Đáp án
- $t = \cos x$: $2t^2 - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = -\dfrac{1}{2}$. $x = k2\pi$ hoặc $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$.
- $\sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ nên $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \pi + k2\pi$.
- $2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 2$ nên $x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$, $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$.
- $\sin x(2\cos x - 1) = 0$: $x = k\pi$ hoặc $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$.
- Không, vì $6^2 = 36 > 3^2 + 4^2 = 25$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình tan x bằng m và cot x bằng m
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Phương trình lượng giác bậc hai theo sin giải thế nào?
Đặt $t = \sin x$, giải phương trình bậc hai theo $t$ rồi giải $\sin x = t$.
Phương trình a sin x + b cos x = c giải thế nào?
Chia cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ rồi đưa về dạng $\sin(x + \varphi) = m$.
Điều kiện có nghiệm của a sin x + b cos x = c?
$c^2 \leq a^2 + b^2$.
Vì sao không nên chia hai vế cho cos x?
Có thể làm mất nghiệm khi $\cos x = 0$.