Công thức nhân đôi lượng giác: sin 2a, cos 2a, tan 2a, công thức hạ bậc và bài tập có đáp án
Công thức nhân đôi lượng giác: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a, tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a). Công thức hạ bậc, ví dụ tính giá trị, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Công thức nhân đôi lượng giác
Công thức nhân đôi lượng giác được suy ra từ công thức cộng bằng cách cho $b = a$: $\sin 2a = 2\sin a\cos a$ và $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a$. Từ đó có các dạng khác của $\cos 2a$ và công thức hạ bậc dùng để giảm bậc của $\sin^2 a$, $\cos^2 a$.
Các công thức nhân đôi
| Công thức | Biểu thức |
|---|---|
| $\sin 2a$ | $2\sin a\cos a$ |
| $\cos 2a$ | $\cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ |
| $\tan 2a$ | $\dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$ |
Công thức hạ bậc
Ví dụ
$\cos^2 15^\circ = \dfrac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}$.
$\sin^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
Hạ bậc giúp tính giá trị của nửa góc đặc biệt.
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho $\sin a = \dfrac{3}{5}$, $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos a = \dfrac{4}{5}$.
$\sin 2a = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$; $\cos 2a = 1 - 2 \cdot \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$.
Ví dụ 2
Rút gọn $2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$.
Xem bài: Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $\cos a = \dfrac{1}{3}$. Tính $\cos 2a$.
- Cho $\sin a = \dfrac{5}{13}$, $0 < a < \dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin 2a$.
- Rút gọn $\sin x\cos x\cos 2x$.
- Tính $\sin^2 22{,}5^\circ$.
- Cho $\tan a = \dfrac{1}{2}$. Tính $\tan 2a$.
Đáp án
- $\cos 2a = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9}$.
- $\cos a = \dfrac{12}{13}$: $\sin 2a = 2 \cdot \dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{120}{169}$.
- $\dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{4}\sin 4x$.
- $\dfrac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
- $\dfrac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \dfrac{4}{3}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Công thức nhân đôi của sin là gì?
$\sin 2a = 2\sin a\cos a$.
Công thức nhân đôi của cos có mấy dạng?
Ba dạng: $\cos^2 a - \sin^2 a$, $2\cos^2 a - 1$, $1 - 2\sin^2 a$.
Công thức hạ bậc dùng khi nào?
Khi cần giảm bậc của $\sin^2 a$, $\cos^2 a$ hoặc tính giá trị nửa góc.
Công thức nhân đôi suy ra từ đâu?
Từ công thức cộng với $b = a$.