Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích: bảng công thức, ví dụ và bài tập có đáp án
Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích gồm cos a cos b, sin a sin b, sin a cos b và cos a ± cos b, sin a ± sin b. Bảng công thức, cách nhớ, ví dụ tính giá trị, rút gọn biểu thức và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích là hai nhóm công thức cho phép chuyển một tích các giá trị lượng giác thành tổng (và ngược lại). Chúng được suy ra từ công thức cộng và rất hữu ích khi rút gọn biểu thức và giải phương trình lượng giác.
Công thức biến đổi tích thành tổng
| Tích | Tổng |
|---|---|
| $\cos a\cos b$ | $\dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right]$ |
| $\sin a\sin b$ | $\dfrac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right]$ |
| $\sin a\cos b$ | $\dfrac{1}{2}\left[\sin(a + b) + \sin(a - b)\right]$ |
Công thức biến đổi tổng thành tích
| Tổng | Tích |
|---|---|
| $\cos a + \cos b$ | $2\cos\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$ |
| $\cos a - \cos b$ | $-2\sin\dfrac{a + b}{2}\sin\dfrac{a - b}{2}$ |
| $\sin a + \sin b$ | $2\sin\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$ |
| $\sin a - \sin b$ | $2\cos\dfrac{a + b}{2}\sin\dfrac{a - b}{2}$ |
Ví dụ
Ví dụ 1: tích thành tổng
$\cos 75^\circ\cos 15^\circ = \dfrac{1}{2}\left[\cos 60^\circ + \cos 90^\circ\right] = \dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 2: tổng thành tích
$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
Ví dụ 3: rút gọn
$\dfrac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \dfrac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x} = \tan 2x$.
Biến tổng thành tích để xuất hiện nhân tử chung.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\sin 15^\circ\sin 75^\circ$.
- Tính $\cos 105^\circ + \cos 15^\circ$.
- Biến đổi $\sin 3x\cos x$ thành tổng.
- Rút gọn $\dfrac{\cos x - \cos 3x}{\sin 3x - \sin x}$.
- Biến đổi $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$ thành tích.
Đáp án
- $\dfrac{1}{2}[\cos 60^\circ - \cos 90^\circ] = \dfrac{1}{4}$.
- $2\cos 60^\circ\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
- $\dfrac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$.
- Tử $= 2\sin 2x\sin x$, mẫu $= 2\cos 2x\sin x$ nên bằng $\tan 2x$.
- $(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = \sin 2x(2\cos x + 1)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Hàm số lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Công thức biến đổi tích thành tổng dùng để làm gì?
Chuyển tích các giá trị lượng giác thành tổng để rút gọn hoặc tính giá trị.
Công thức biến đổi tổng thành tích?
$\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2}$ và các công thức tương tự.
Hai nhóm công thức suy ra từ đâu?
Từ công thức cộng.
Khi nào dùng tổng thành tích?
Khi cần xuất hiện nhân tử chung, ví dụ khi giải phương trình.