Công thức cộng lượng giác: sin(a ± b), cos(a ± b), tan(a ± b), ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11
Công thức cộng lượng giác cho sin(a ± b), cos(a ± b) và tan(a ± b) theo giá trị lượng giác của a và b. Bảng công thức, cách nhớ, ví dụ tính sin 75° và cos 15°, tan 15°, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Công thức cộng lượng giác
Công thức cộng lượng giác cho phép tính giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc $a \pm b$ từ giá trị lượng giác của $a$ và $b$. Đây là nền tảng để suy ra công thức nhân đôi, hạ bậc và biến đổi tích thành tổng.
Các công thức cộng
| Công thức | Biểu thức |
|---|---|
| $\cos(a - b)$ | $\cos a\cos b + \sin a\sin b$ |
| $\cos(a + b)$ | $\cos a\cos b - \sin a\sin b$ |
| $\sin(a - b)$ | $\sin a\cos b - \cos a\sin b$ |
| $\sin(a + b)$ | $\sin a\cos b + \cos a\sin b$ |
| $\tan(a + b)$ | $\dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$ |
| $\tan(a - b)$ | $\dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}$ |
Xem bài: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Ví dụ tính giá trị
Ví dụ 1: sin 75°
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ví dụ 2: cos 15°
$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ví dụ 3: tan 15°
$\tan 15^\circ = \dfrac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ\tan 30^\circ} = \dfrac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
Ứng dụng rút gọn biểu thức
Ví dụ
Rút gọn $\sin 20^\circ\cos 10^\circ + \cos 20^\circ\sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
$\cos x\cos 2x - \sin x\sin 2x = \cos(x + 2x) = \cos 3x$.
Nhận ra vế trái có dạng công thức cộng rồi gộp lại.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\cos 75^\circ$.
- Tính $\sin 15^\circ$.
- Rút gọn $\cos 50^\circ\cos 10^\circ - \sin 50^\circ\sin 10^\circ$.
- Cho $\sin a = \dfrac{3}{5}$, $\cos b = \dfrac{5}{13}$ ($a, b$ nhọn). Tính $\sin(a + b)$.
- Tính $\tan\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right)$ theo $\tan x$.
Đáp án
- $\cos(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
- $\sin(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
- $\cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$.
- $\cos a = \dfrac{4}{5}$, $\sin b = \dfrac{12}{13}$: $\sin(a + b) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13} = \dfrac{63}{65}$.
- $\dfrac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Bài tiếp theo: Công thức nhân đôi
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Công thức cộng lượng giác là gì?
Là công thức tính $\sin$, $\cos$, $\tan$ của $a \pm b$ theo giá trị lượng giác của $a$ và $b$.
Công thức $\cos(a + b)$ viết thế nào?
$\cos a\cos b - \sin a\sin b$.
Công thức $\sin(a + b)$ viết thế nào?
$\sin a\cos b + \cos a\sin b$.
Dùng công thức cộng để làm gì?
Tính giá trị lượng giác của các góc như $15^\circ$, $75^\circ$ và rút gọn biểu thức.