Quan hệ giữa các giá trị lượng giác: hệ thức cơ bản, góc đối, bù, phụ và bài tập có đáp án Toán 11
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác gồm hệ thức cơ bản sin² + cos² = 1 và các công thức cho hai góc đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém π. Bảng công thức, cách nhớ, ví dụ tính giá trị và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của cùng một góc và của các góc đặc biệt (đối nhau, bù nhau, phụ nhau, hơn kém $\pi$) giúp quy mọi giá trị lượng giác về góc nhọn và rút gọn biểu thức. Hệ thức cơ bản nhất là $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Hệ thức cơ bản
| Hệ thức | Điều kiện |
|---|---|
| $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ | Mọi $\alpha$ |
| $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ | $\cos\alpha \neq 0$ |
| $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ | $\sin\alpha \neq 0$ |
| $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ | $\sin\alpha\cos\alpha \neq 0$ |
Xem bài: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt
| Góc | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| Đối nhau $-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| Bù nhau $\pi - \alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| Hơn kém $\pi$: $\alpha + \pi$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| Phụ nhau $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ | $\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $\cot\alpha$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ với $-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < 0$. Tính $\sin\alpha$, $\tan\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$; góc phần tư IV nên $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$.
$\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$.
Ví dụ 2
$\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos\dfrac{11\pi}{6} = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ với $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính $\cos\alpha$.
- Tính $\sin\dfrac{5\pi}{6}$ bằng góc bù.
- Tính $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$ (dùng $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$).
- Rút gọn $\sin(\pi + x) + \sin(-x)$.
- Cho $\tan\alpha = 2$. Tính $\cos^2\alpha$.
Đáp án
- $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{9}} = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
- $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
- $-\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- $-\sin x - \sin x = -2\sin x$.
- $\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + 4 = 5$ nên $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{5}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Hệ thức lượng giác cơ bản là gì?
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Giá trị lượng giác của hai góc đối nhau?
$\cos$ bằng nhau; $\sin$, $\tan$, $\cot$ đối nhau.
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau?
$\sin$ bằng nhau; $\cos$, $\tan$, $\cot$ đối nhau.
Giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau?
$\sin$ góc này bằng $\cos$ góc kia, $\tan$ bằng $\cot$.