Giá trị lượng giác của góc lượng giác: sin, cos, tan, cot, dấu theo góc phần tư và bài tập có đáp án
Giá trị lượng giác của góc lượng giác α gồm sin α là tung độ, cos α là hoành độ của điểm M trên đường tròn lượng giác, tan α, cot α. Dấu theo góc phần tư, tính tuần hoàn, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11.
Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$ được định nghĩa qua điểm $M(x; y)$ biểu diễn $\alpha$ trên đường tròn lượng giác: $\cos\alpha = x$, $\sin\alpha = y$, $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Định nghĩa này mở rộng giá trị lượng giác của lớp 10 cho mọi số đo góc.
Định nghĩa
- Với mọi $\alpha$: $-1 \leq \sin\alpha \leq 1$ và $-1 \leq \cos\alpha \leq 1$.
- Tính tuần hoàn: $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha$, $\cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha$, $\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha$.
Xem bài: Đơn vị đo góc: độ và radian
Dấu theo góc phần tư
| Góc phần tư | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $\cos\alpha$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ |
Giá trị đặc biệt và ví dụ
| $\alpha$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
Ví dụ
$\sin\dfrac{7\pi}{6}$: $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ ở phần tư III nên $\sin < 0$, bằng $-\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
$\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Quy về góc trong $[0; 2\pi)$ rồi xét dấu.
Xem bài: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\sin\dfrac{5\pi}{6}$ và $\cos\dfrac{5\pi}{6}$.
- Xét dấu $\sin\dfrac{4\pi}{3}$ và $\tan\dfrac{4\pi}{3}$.
- Tính $\cos\dfrac{13\pi}{3}$.
- Tính $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ và $\cos(-\pi)$.
- Góc $\alpha$ thuộc phần tư IV thì dấu của $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ là gì?
Đáp án
- $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$; $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Phần tư III: $\sin < 0$, $\tan > 0$.
- $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ nên $\cos = \dfrac{1}{2}$.
- $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$; $\cos(-\pi) = -1$.
- $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đơn vị đo góc: độ và radian
Bài tiếp theo: Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Giá trị lượng giác của góc lượng giác định nghĩa thế nào?
Qua tọa độ điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác: cos là hoành độ, sin là tung độ.
Giá trị của sin và cos nằm trong khoảng nào?
Trong đoạn $[-1; 1]$.
Dấu của giá trị lượng giác phụ thuộc gì?
Phụ thuộc góc phần tư chứa điểm biểu diễn.
Khi nào tan không xác định?
Khi $\cos\alpha = 0$, tức $\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.