Đơn vị đo góc: độ và radian, công thức đổi đơn vị, độ dài cung tròn và bài tập có đáp án Toán 11
Đơn vị đo góc gồm độ và radian với 180° = π rad. Công thức đổi đơn vị, bảng đổi các góc đặc biệt, độ dài cung tròn l = R·α, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đơn vị đo góc: độ và radian
Đơn vị đo góc thường dùng là độ và radian. Một radian là số đo của góc ở tâm chắn một cung có độ dài bằng bán kính. Quan hệ giữa hai đơn vị là $180^\circ = \pi$ rad, từ đó $1$ rad $= \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57{,}3^\circ$.
Công thức đổi đơn vị
| Độ | Radian |
|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| $90^\circ$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $120^\circ$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $135^\circ$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ |
| $150^\circ$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
| $180^\circ$ | $\pi$ |
| $360^\circ$ | $2\pi$ |
Độ dài cung tròn
Ví dụ
Đường tròn bán kính $R = 5$, cung $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ rad: $l = 5 \cdot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$.
Cung $72^\circ$ của đường tròn bán kính $10$: $\alpha = \dfrac{72\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{5}$, $l = 4\pi$.
Công thức $l = R\alpha$ chỉ đúng khi $\alpha$ đo bằng radian.
Ví dụ đổi đơn vị
Ví dụ
$60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad; $225^\circ = \dfrac{5\pi}{4}$ rad.
$\dfrac{3\pi}{4}$ rad $= 135^\circ$; $2$ rad $= \dfrac{360}{\pi}\ \text{độ} \approx 114{,}6^\circ$.
Xem bài: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Đổi $150^\circ$ và $-45^\circ$ sang radian.
- Đổi $\dfrac{5\pi}{6}$ rad và $\dfrac{\pi}{12}$ rad sang độ.
- Tính độ dài cung có số đo $\dfrac{\pi}{4}$ của đường tròn bán kính $8$.
- Một bánh xe bán kính $0{,}5$ m quay được góc $\dfrac{3\pi}{2}$. Điểm trên vành đi được quãng đường bao nhiêu?
- Cung dài $6$ của đường tròn bán kính $4$ có số đo bao nhiêu radian?
Đáp án
- $150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}$; $-45^\circ = -\dfrac{\pi}{4}$.
- $\dfrac{5\pi}{6}$ rad $= 150^\circ$; $\dfrac{\pi}{12}$ rad $= 15^\circ$.
- $l = 8 \cdot \dfrac{\pi}{4} = 2\pi$.
- $l = 0{,}5 \cdot \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{4} \approx 2{,}36$ m.
- $\alpha = \dfrac{l}{R} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ rad.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Một radian bằng bao nhiêu độ?
Khoảng $57{,}3^\circ$, chính xác là $\dfrac{180}{\pi}$ độ.
Công thức đổi độ sang radian?
$\alpha^\circ = \dfrac{\pi}{180} \cdot \alpha$ rad.
Công thức độ dài cung tròn?
$l = R\alpha$ với $\alpha$ đo bằng radian.
$\pi$ rad bằng bao nhiêu độ?
$180^\circ$.