Phương trình sin x = m: điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11
Phương trình sin x = m có nghiệm khi |m| ≤ 1. Công thức nghiệm sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π, các trường hợp đặc biệt m = 0, 1, −1, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Phương trình sin x = m
Phương trình sin x = m là phương trình lượng giác cơ bản. Vì $-1 \leq \sin x \leq 1$ nên phương trình vô nghiệm khi $|m| > 1$. Khi $|m| \leq 1$, tồn tại $\alpha$ sao cho $\sin\alpha = m$ và các nghiệm là $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Công thức nghiệm
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\sin x = 0$ | $x = k\pi$ |
| $\sin x = 1$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
| $\sin x = -1$ | $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ |
| $|m| > 1$ | Vô nghiệm |
Xem bài: Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x
Ví dụ
Ví dụ 1
$\sin x = \dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6}$ nên $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$.
Ví dụ 2
$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ nên $x = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi$.
Ví dụ 3
$\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$ nên $2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $2x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$, suy ra $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
Giải theo $2x$ rồi chia cho $2$, nhớ chia cả $k2\pi$.
Ví dụ 4
$\sin x = 2$ vô nghiệm vì $|2| > 1$.
Khi α đo bằng độ
Nếu $\sin x = \sin\alpha^\circ$ thì $x = \alpha^\circ + k360^\circ$ hoặc $x = 180^\circ - \alpha^\circ + k360^\circ$. Không trộn lẫn độ và radian trong cùng một đáp án.
Xem bài: Phương trình cos x = m
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Giải $\sin x = -\dfrac{1}{2}$.
- Giải $\sin 3x = 0$.
- Giải $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.
- Giải $\sin x = 1{,}5$.
Đáp án
- $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$.
- $x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi$.
- $3x = k\pi$ nên $x = \dfrac{k\pi}{3}$.
- $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ nên $x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$.
- Vô nghiệm vì $|1{,}5| > 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đồ thị hàm số y bằng tan x và y bằng cot x
Bài tiếp theo: Phương trình cos x bằng m
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Phương trình sin x = m có nghiệm khi nào?
Khi $|m| \leq 1$.
Công thức nghiệm của sin x = sin α?
$x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \alpha + k2\pi$.
sin x = 0 có nghiệm là gì?
$x = k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.
Giải sin(ax + b) = m thế nào?
Giải theo $ax + b$ rồi tìm $x$.