Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x: tiệm cận, sự biến thiên, chu kì và bài tập có đáp án Toán 11

Q: Đồ thị tan x có tiệm cận không?

Có, các đường thẳng $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Q: Hàm tan x đồng biến trên khoảng nào?

Trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$.

Q: Đồ thị đối xứng thế nào?

Qua gốc tọa độ vì là hàm số lẻ.

Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x tuần hoàn với chu kì π, có các đường tiệm cận đứng. Tập xác định, sự biến thiên, tính chất đối xứng qua gốc, giao với trục, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x: tiệm cận, sự biến thiên, chu kì và bài tập có đáp án Toán 11$

Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x

Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x là những đường cong gồm vô số nhánh, lặp lại sau mỗi chu kì $\pi$ và nhận các đường thẳng song song với trục tung làm tiệm cận đứng. Cả hai đều là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số y = tan x

Tính chất	$y = \tan x$
Tập xác định	$\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$
Tập giá trị	$\mathbb{R}$
Tuần hoàn	Chu kì $\pi$
Chẵn lẻ	Hàm lẻ
Biến thiên	Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$
Tiệm cận đứng	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
Giao với $Ox$	$x = k\pi$

Xem bài: Đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x

Hàm số y = cot x

Tính chất	$y = \cot x$
Tập xác định	$\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$
Tập giá trị	$\mathbb{R}$
Tuần hoàn	Chu kì $\pi$
Chẵn lẻ	Hàm lẻ
Biến thiên	Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi)$
Tiệm cận đứng	$x = k\pi$
Giao với $Ox$	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Ví dụ

Ví dụ 1

Giải $\tan x > 0$ trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$: đồ thị nằm phía trên $Ox$ khi $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$.

Ví dụ 2

Trên $(0; \pi)$, $\cot x$ giảm từ $+\infty$ đến $-\infty$ và bằng $0$ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Xem bài: Phương trình sin x = m

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm giao điểm của $y = \tan x$ với $Ox$ trong $[0; 2\pi]$.
Hàm số $y = \cot x$ đồng biến hay nghịch biến trên $(0; \pi)$?
Tìm tiệm cận đứng của $y = \tan x$ trong $[0; 2\pi]$.
Tìm tập xác định của $y = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Đồ thị $y = \tan x$ đối xứng qua điểm nào?

Đáp án

$x = 0, \pi, 2\pi$.
Nghịch biến.
$x = \dfrac{\pi}{2}$ và $x = \dfrac{3\pi}{2}$.
$x + \dfrac{\pi}{4} \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ nên $x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
Qua gốc tọa độ $O$ (hàm lẻ).