Đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x: dạng đồ thị, sự biến thiên, bảng biến thiên và bài tập có đáp án
Đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là các đường hình sin có chu kì 2π, nằm giữa hai đường y = 1 và y = −1. Sự biến thiên, bảng giá trị, quan hệ cos x = sin(x + π/2), tính đối xứng, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11.
Đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x
Đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là các đường hình sin (đường sin) có chu kì $2\pi$, dao động giữa hai đường $y = 1$ và $y = -1$. Đồ thị của $y = \cos x$ nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị $y = \sin x$ sang trái $\dfrac{\pi}{2}$ vì $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
Hàm số y = sin x
| Tính chất | $y = \sin x$ |
|---|---|
| Tập xác định / giá trị | $\mathbb{R}$ / $[-1; 1]$ |
| Tuần hoàn | Chu kì $2\pi$ |
| Tính chẵn lẻ | Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc $O$ |
| Đồng biến | Trên $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ |
| Nghịch biến | Trên $\left(\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right)$ |
| Giao với $Ox$ | $x = k\pi$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
Xem bài: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Hàm số y = cos x
| Tính chất | $y = \cos x$ |
|---|---|
| Tập xác định / giá trị | $\mathbb{R}$ / $[-1; 1]$ |
| Tuần hoàn | Chu kì $2\pi$ |
| Tính chẵn lẻ | Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục $Oy$ |
| Đồng biến | Trên $(-\pi + k2\pi; k2\pi)$ |
| Nghịch biến | Trên $(k2\pi; \pi + k2\pi)$ |
| Giao với $Ox$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = 2\sin x + 1$: $-1 \leq y \leq 3$. Đạt max $3$ khi $\sin x = 1$, min $-1$ khi $\sin x = -1$.
Ví dụ 2
Trên $[0; 2\pi]$ phương trình $\sin x = 0$ có nghiệm $x = 0, \pi, 2\pi$ — chính là các giao điểm của đồ thị với trục $Ox$.
Xem bài: Đồ thị hàm số y = tan x và y = cot x
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y = 3\cos x - 2$.
- Hàm số $y = \sin x$ đồng biến hay nghịch biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$?
- Hàm số $y = \cos x$ đồng biến hay nghịch biến trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$?
- Tìm giao điểm của $y = \cos x$ với trục $Ox$ trong $[0; 2\pi]$.
- Đồ thị $y = \cos x$ có tâm hay trục đối xứng nào?
Đáp án
- $-5 \leq y \leq 1$: max $1$, min $-5$.
- Đồng biến.
- Nghịch biến.
- $x = \dfrac{\pi}{2}$ và $x = \dfrac{3\pi}{2}$.
- Trục đối xứng là trục $Oy$ (hàm chẵn).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Bài tiếp theo: Đồ thị hàm số y bằng tan x và y bằng cot x
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Đồ thị của sin x có dạng gì?
Đường hình sin có chu kì $2\pi$, dao động giữa $-1$ và $1$.
Quan hệ giữa đồ thị sin và cos?
Đồ thị cos suy ra từ đồ thị sin bằng cách tịnh tiến sang trái $\dfrac{\pi}{2}$.
Hàm cos đối xứng thế nào?
Đối xứng qua trục tung vì là hàm chẵn.
Đồ thị cắt trục hoành ở đâu?
$\sin x = 0$ tại $x = k\pi$; $\cos x = 0$ tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.