Phương trình cos x = m: điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11
Phương trình cos x = m có nghiệm khi |m| ≤ 1. Công thức nghiệm cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π, các trường hợp đặc biệt m = 0, 1, −1, phương trình cos(ax + b) = m, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Phương trình cos x = m
Phương trình cos x = m cũng chỉ có nghiệm khi $|m| \leq 1$. Khi đó, nếu $\cos\alpha = m$ thì mọi nghiệm đều có dạng $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = -\alpha + k2\pi$, viết gọn là $x = \pm\alpha + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Công thức nghiệm
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\cos x = 0$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $\cos x = 1$ | $x = k2\pi$ |
| $\cos x = -1$ | $x = \pi + k2\pi$ |
| $|m| > 1$ | Vô nghiệm |
Xem bài: Phương trình sin x = m
Ví dụ
Ví dụ 1
$\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$ nên $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$.
Ví dụ 2
$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$ nên $x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$.
Ví dụ 3
$\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$ nên $2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, suy ra $x = \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$.
Ví dụ 4
$\cos x = 3$ vô nghiệm vì $|3| > 1$.
Mẹo
Xem bài: Phương trình tan x = m và cot x = m
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Giải $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.
- Giải $\cos 2x = 1$.
- Giải $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$.
- Giải $\cos x = -2$.
Đáp án
- $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k2\pi$.
- $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$.
- $2x = k2\pi$ nên $x = k\pi$.
- $x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ nên $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
- Vô nghiệm.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình sin x bằng m
Bài tiếp theo: Phương trình tan x bằng m và cot x bằng m
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Phương trình cos x = m có nghiệm khi nào?
Khi $|m| \leq 1$.
Công thức nghiệm của cos x = cos α?
$x = \pm\alpha + k2\pi$.
cos x = 0 có nghiệm là gì?
$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Khác gì phương trình sin x = m?
$\cos x = \cos\alpha$ có hai họ $\pm\alpha + k2\pi$, còn $\sin x = \sin\alpha$ có $\alpha + k2\pi$ và $\pi - \alpha + k2\pi$.