Phương trình tan x = m và cot x = m: điều kiện xác định, công thức nghiệm và bài tập có đáp án
Phương trình tan x = m và cot x = m luôn có nghiệm với mọi m. Công thức nghiệm tan x = tan α ⇔ x = α + kπ và cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, điều kiện xác định, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Phương trình tan x = m và cot x = m
Phương trình tan x = m và cot x = m có nghiệm với mọi số thực $m$ vì tập giá trị của $\tan x$ và $\cot x$ là $\mathbb{R}$. Công thức nghiệm gọn: $\tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ và $\cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Công thức nghiệm
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| $\tan x = 0$ | $x = k\pi$ |
| $\tan x = 1$ | $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ |
| $\tan x = \sqrt{3}$ | $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ |
| $\cot x = 1$ | $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ |
| $\cot x = 0$ | $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
Xem bài: Phương trình cos x = m
Ví dụ
Ví dụ 1
$\tan x = \sqrt{3}$ nên $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$.
Ví dụ 2
$\tan x = -1$ nên $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
Ví dụ 3
$\cot x = -\sqrt{3}$ nên $x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi$ (vì $\cot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$).
Ví dụ 4
$\tan 2x = 1$ nên $2x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$, suy ra $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$.
Chia cả $k\pi$ cho hệ số của $x$.
Chú ý điều kiện xác định
Khi biến đổi về phương trình $\tan$ hoặc $\cot$ phải đặt điều kiện: $\cos x \neq 0$ cho $\tan x$ và $\sin x \neq 0$ cho $\cot x$, rồi loại nghiệm không thỏa điều kiện.
Xem bài: Phương trình lượng giác thường gặp
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- Giải $\cot x = 1$.
- Giải $\tan 3x = 0$.
- Giải $\tan\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$.
- Giải $\cot 2x = \sqrt{3}$.
Đáp án
- $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$.
- $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
- $3x = k\pi$ nên $x = \dfrac{k\pi}{3}$.
- $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ nên $x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi$.
- $2x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ nên $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình cos x bằng m
Bài tiếp theo: Phương trình lượng giác thường gặp
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tan x = m có nghiệm khi nào?
Với mọi số thực $m$.
Công thức nghiệm của tan x = tan α?
$x = \alpha + k\pi$.
Điều kiện xác định của tan x = m?
$\cos x \neq 0$.
Điều kiện xác định của cot x = m?
$\sin x \neq 0$.