Giải tam giác: các trường hợp, cách áp dụng định lí côsin, định lí sin và bài tập có đáp án

Q: Giải tam giác là gì?

Là tìm tất cả các cạnh và góc chưa biết của tam giác.

Q: Cần biết bao nhiêu yếu tố để giải tam giác?

Ít nhất ba yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh.

Q: Khi nào dùng định lí côsin?

Khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết ba cạnh.

Q: Khi nào dùng định lí sin?

Khi biết một cạnh và hai góc, hoặc cạnh và góc đối diện.

Giải tam giác là tìm các cạnh và góc chưa biết của tam giác khi biết một số yếu tố. Ba trường hợp thường gặp, cách chọn định lí côsin hay định lí sin, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Giải tam giác: các trường hợp, cách áp dụng định lí côsin, định lí sin và bài tập có đáp án$

Giải tam giác là gì?

Giải tam giác là tìm tất cả các cạnh và góc chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố. Để giải được, cần biết ít nhất ba yếu tố trong đó có ít nhất một cạnh. Ta kết hợp định lí côsin, định lí sin và tổng ba góc bằng $180^\circ$.

Ba trường hợp thường gặp

Biết	Cách giải
Hai cạnh và góc xen giữa (c-g-c)	Định lí côsin tìm cạnh thứ ba, rồi định lí sin hoặc côsin tìm góc
Ba cạnh (c-c-c)	Định lí côsin tìm hai góc, góc còn lại là $180^\circ$ trừ hai góc đó
Một cạnh và hai góc (g-c-g)	Góc thứ ba, rồi định lí sin tìm hai cạnh còn lại

Xem bài: Định lí côsin

Xem bài: Định lí sin

Ví dụ 1: biết hai cạnh và góc xen giữa

Lời giải

Tam giác $ABC$ có $b = 5$, $c = 8$, $A = 60^\circ$.
$a^2 = 25 + 64 - 40 = 49$ nên $a = 7$.
$\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} \approx 0{,}619$ nên $B \approx 38{,}2^\circ$ (vì $b < c$ nên $B$ nhọn).
$C = 180^\circ - 60^\circ - 38{,}2^\circ = 81{,}8^\circ$.

Góc nhỏ hơn đối diện cạnh nhỏ hơn nên $B$ chắc chắn là góc nhọn.

Ví dụ 2: biết ba cạnh

Lời giải

Tam giác có $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.
$\cos A = \dfrac{36 + 49 - 25}{84} = \dfrac{5}{7}$ nên $A \approx 44{,}4^\circ$.
$\cos B = \dfrac{25 + 49 - 36}{70} = \dfrac{19}{35}$ nên $B \approx 57{,}1^\circ$.
$C \approx 180^\circ - 44{,}4^\circ - 57{,}1^\circ = 78{,}5^\circ$.

Ví dụ 3: biết một cạnh và hai góc

Lời giải

Tam giác có $c = 10$, $A = 50^\circ$, $B = 60^\circ$.
$C = 70^\circ$.
$a = \dfrac{c\sin A}{\sin C} = \dfrac{10 \sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 8{,}15$; $b = \dfrac{10 \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 9{,}22$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $b = 3$, $c = 4$.
Giải tam giác có $a = 4$, $b = 5$, $C = 60^\circ$ (tìm $c$).
Giải tam giác có ba cạnh $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$ (tìm góc lớn nhất).
Giải tam giác có $A = 40^\circ$, $B = 60^\circ$, $a = 10$ (tìm $C$ và $b$).
Tại sao cần ít nhất một cạnh để giải tam giác?

Đáp án

$a = 5$; $\sin B = \dfrac{3}{5}$ nên $B \approx 36{,}9^\circ$, $C \approx 53{,}1^\circ$.
$c^2 = 16 + 25 - 20 = 21$ nên $c = \sqrt{21} \approx 4{,}58$.
Góc lớn nhất đối diện cạnh $7$: $\cos C = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{1}{5}$ nên $C \approx 78{,}5^\circ$.
$C = 80^\circ$; $b = \dfrac{10 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13{,}47$.
Ba góc cho biết hình dạng nhưng không cho biết kích thước; cần ít nhất một cạnh để xác định.