Định lí côsin: công thức, hệ quả tính góc, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10

Q: Định lí côsin dùng khi nào?

Khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh.

Q: Định lí côsin liên hệ với định lí Pythagore thế nào?

Khi góc $A = 90^\circ$, $\cos A = 0$ và công thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2$.

Q: Làm sao biết tam giác tù từ định lí côsin?

Nếu $\cos A < 0$ thì góc $A$ tù.

Q: Công thức tính góc từ ba cạnh là gì?

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

Định lí côsin trong tam giác ABC phát biểu a² = b² + c² − 2bc·cos A. Công thức ba cạnh, hệ quả tính cos A, trường hợp tam giác vuông, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Định lí côsin: công thức, hệ quả tính góc, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10$

Định lí côsin là gì?

Định lí côsin cho biết trong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$ thì $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Đây là mở rộng của định lí Pythagore cho tam giác bất kì, dùng để tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc tính góc khi biết ba cạnh.

Phát biểu định lí

Khi $A = 90^\circ$ thì $\cos A = 0$ và định lí côsin trở thành $a^2 = b^2 + c^2$, chính là định lí Pythagore.

Hệ quả: tính góc khi biết ba cạnh

Từ dấu của $\cos A$ ta biết góc $A$ nhọn ($\cos A > 0$), vuông ($\cos A = 0$) hay tù ($\cos A < 0$).

Ví dụ

Ví dụ 1: tính cạnh

Tam giác $ABC$ có $b = 5$, $c = 8$, $A = 60^\circ$.
$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 49$ nên $a = 7$.

Ví dụ 2: tính góc

Tam giác có $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$.
$\cos A = \dfrac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$ nên $A = 60^\circ$.

Xem bài: Định lí sin

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tam giác $ABC$ có $b = 3$, $c = 4$, $A = 90^\circ$. Tính $a$.
Tam giác có $a = 5$, $b = 6$, $C = 60^\circ$. Tính $c$.
Tam giác có ba cạnh $3$, $4$, $6$. Tính $\cos C$ với $C$ đối diện cạnh $6$ và cho biết tam giác nhọn hay tù.
Tam giác có $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$. Tính $\cos B$.
Tam giác $ABC$ có $b = c = 6$, $A = 120^\circ$. Tính $a$.

Đáp án

$a^2 = 9 + 16 = 25$ nên $a = 5$.
$c^2 = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 31$ nên $c = \sqrt{31}$.
$\cos C = \dfrac{9 + 16 - 36}{24} = -\dfrac{11}{24} < 0$ nên tam giác tù tại $C$.
$\cos B = \dfrac{4 + 16 - 9}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \dfrac{11}{16}$.
$a^2 = 36 + 36 - 2 \cdot 36 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 108$ nên $a = 6\sqrt{3}$.