Định lí sin: công thức, bán kính đường tròn ngoại tiếp, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10
Định lí sin trong tam giác ABC phát biểu a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Công thức, cách tính cạnh và góc, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Định lí sin là gì?
Định lí sin cho biết trong tam giác $ABC$ có các cạnh $a$, $b$, $c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ thì $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$. Định lí dùng khi biết một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và một góc đối diện.
Phát biểu định lí
- Suy ra $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$.
- Suy ra $R = \dfrac{a}{2\sin A}$.
- Tỉ lệ: cạnh đối diện góc lớn hơn thì dài hơn.
Ví dụ
Ví dụ 1: bán kính ngoại tiếp
Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $A = 30^\circ$.
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6$.
Ví dụ 2: tính cạnh
Tam giác có $a = 4$, $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$.
$b = \dfrac{a\sin B}{\sin A} = \dfrac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.
Ví dụ 3: tính góc thứ ba
Tam giác có $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$ thì $C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.
Khi nào dùng định lí sin, khi nào dùng định lí côsin
| Đã biết | Dùng |
|---|---|
| Một cạnh và hai góc | Định lí sin |
| Hai cạnh và một góc đối diện | Định lí sin |
| Hai cạnh và góc xen giữa | Định lí côsin |
| Ba cạnh | Định lí côsin |
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tam giác $ABC$ có $b = 5$, $B = 30^\circ$. Tính $R$.
- Tam giác có $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $a = 6$. Tính $b$.
- Tam giác có $A = 45^\circ$, $B = 75^\circ$. Tính $C$.
- Tam giác có $R = 3$, $A = 30^\circ$. Tính $a$.
- Tam giác $ABC$ có $a = 10$, $A = 90^\circ$. Tính $R$.
Đáp án
- $R = \dfrac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5$.
- $b = \dfrac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{6}$.
- $C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$.
- $a = 2R\sin A = 2 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 3$.
- $R = \dfrac{10}{2 \cdot 1} = 5$ (tâm là trung điểm cạnh huyền).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Công thức tính diện tích tam giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Hệ thức lượng trong tam giác
Câu hỏi thường gặp
Định lí sin phát biểu như thế nào?
Tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện bằng nhau và bằng $2R$.
R trong định lí sin là gì?
Là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Khi nào dùng định lí sin?
Khi biết một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và góc đối diện của một trong hai cạnh đó.
Tính bán kính ngoại tiếp bằng cách nào?
$R = \dfrac{a}{2\sin A}$.