Công thức tính diện tích tam giác: theo hai cạnh và góc, bán kính R, r và bài tập có đáp án
Công thức tính diện tích tam giác gồm S = ½·a·h, S = ½·ab·sin C, S = abc / 4R và S = p·r. Cách chọn công thức theo dữ kiện, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Các công thức tính diện tích tam giác
Công thức tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng gồm bốn dạng: theo đáy và đường cao, theo hai cạnh và góc xen giữa, theo bán kính đường tròn ngoại tiếp và theo bán kính đường tròn nội tiếp. Chọn đúng công thức theo dữ kiện giúp bài giải ngắn gọn.
Bốn công thức cần nhớ
| Công thức | Dùng khi biết |
|---|---|
| $S = \dfrac{1}{2} a h_a$ | Một cạnh và đường cao tương ứng |
| $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C$ | Hai cạnh và góc xen giữa |
| $S = \dfrac{abc}{4R}$ | Ba cạnh và bán kính ngoại tiếp |
| $S = pr$ | Nửa chu vi $p$ và bán kính nội tiếp $r$ |
Ở đây $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi. Khi biết ba cạnh, dùng công thức Heron.
Ví dụ
Ví dụ 1
Tam giác có $b = 5$, $c = 8$, $A = 60^\circ$.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
Ví dụ 2
Tam giác đều cạnh $a$ có $S = \dfrac{1}{2} a \cdot a \sin 60^\circ = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Ví dụ 3
Tam giác vuông $3$, $4$, $5$: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $p = 6$ nên $r = \dfrac{S}{p} = 1$ và $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tam giác có $a = 6$, $b = 8$, $C = 30^\circ$. Tính $S$.
- Tam giác đều cạnh $4$. Tính diện tích.
- Tam giác có $S = 24$, $p = 12$. Tính $r$.
- Tam giác có $a = 5$, $b = 5$, $c = 6$ và $R = \dfrac{25}{8}$. Tính $S$.
- Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $5$ và $12$. Tính diện tích và $R$.
Đáp án
- $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 12$.
- $S = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.
- $r = \dfrac{S}{p} = 2$.
- $S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{150}{4 \cdot \frac{25}{8}} = 12$.
- $S = 30$; cạnh huyền $13$ nên $R = \dfrac{13}{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Công thức Heron
Xem tất cả bài học chủ điểm Hệ thức lượng trong tam giác
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính diện tích tam giác theo hai cạnh và góc là gì?
$S = \dfrac{1}{2} ab\sin C$ với $C$ là góc xen giữa.
Công thức liên quan đến bán kính ngoại tiếp?
$S = \dfrac{abc}{4R}$.
Công thức liên quan đến bán kính nội tiếp?
$S = pr$ với $p$ là nửa chu vi.
Khi biết ba cạnh dùng công thức nào?
Công thức Heron.