Công thức Heron: tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10

Q: Công thức Heron là gì?

Công thức tính diện tích tam giác theo ba cạnh: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.

Q: p trong công thức Heron là gì?

Là nửa chu vi $p = \dfrac{a + b + c}{2}$.

Q: Khi nào nên dùng công thức Heron?

Khi chỉ biết độ dài ba cạnh của tam giác.

Công thức Heron tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)] với p là nửa chu vi. Cách dùng, ví dụ tam giác 13-14-15, tính r và R, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.

$Công thức Heron: tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10$

Công thức Heron là gì?

Công thức Heron cho phép tính diện tích tam giác khi chỉ biết độ dài ba cạnh $a$, $b$, $c$: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, trong đó $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi. Không cần tìm đường cao hay góc.

Công thức và cách dùng

Tính nửa chu vi $p$.
Tính ba hiệu $p - a$, $p - b$, $p - c$.
Thay vào công thức và khai căn.

Xem bài: Công thức tính diện tích tam giác

Ví dụ

Ví dụ 1: tam giác 13, 14, 15

$p = 21$; $p - a = 8$, $p - b = 7$, $p - c = 6$.
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.
Bán kính nội tiếp $r = \dfrac{S}{p} = 4$; ngoại tiếp $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8}$.

Ví dụ 2: tam giác 7, 8, 9

$p = 12$; $S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.

Chú ý khi tính

Kiểm tra bất đẳng thức tam giác trước: mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
Nếu có một hiệu $p - a \leq 0$ thì không tồn tại tam giác.
Có thể kết hợp với $S = pr$ và $S = \dfrac{abc}{4R}$ để tính $r$, $R$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính diện tích tam giác có ba cạnh $5$, $5$, $6$.
Tính diện tích tam giác có ba cạnh $6$, $8$, $10$.
Tam giác có ba cạnh $4$, $5$, $6$: tính $S$ (giữ dạng căn).
Tam giác $13$, $14$, $15$: tính độ dài đường cao ứng với cạnh $14$.
Ba số $3$, $4$, $8$ có là ba cạnh của một tam giác không?

Đáp án

$p = 8$, $S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12$.
$p = 12$, $S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = 24$.
$p = 7{,}5$; $S = \sqrt{7{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5} = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$.
$h = \dfrac{2S}{14} = \dfrac{168}{14} = 12$.
Không, vì $3 + 4 = 7 < 8$.