Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác: sin² + cos² = 1, công thức tan, cot và bài tập
Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác gồm sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α / cos α, tan α · cot α = 1 và 1 + tan²α = 1/cos²α. Công thức, ví dụ tính giá trị, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác
Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác giúp ta tính giá trị còn lại khi biết một giá trị. Quan trọng nhất là $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ với mọi góc $\alpha$, cùng với $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Các hệ thức cần nhớ
| Hệ thức | Điều kiện |
|---|---|
| $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ | Mọi $\alpha$ |
| $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ | $\alpha \neq 90^\circ$ |
| $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ | $\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ$ |
| $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ | $\alpha \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$ |
| $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ | $\alpha \neq 90^\circ$ |
| $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ | $\alpha \neq 0^\circ, 180^\circ$ |
Xem bài: Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Ví dụ tính giá trị
Ví dụ 1
Cho $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\sin\alpha$, $\tan\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, vì $\sin\alpha > 0$ nên $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$.
$\tan\alpha = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}$.
Chọn dấu của $\sin$, $\cos$ theo khoảng của góc.
Ví dụ 2
Cho $\tan\alpha = 2$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Tính $\cos\alpha$.
$\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + 4 = 5$ nên $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Chứng minh đẳng thức lượng giác
Ví dụ
Chứng minh $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Khai triển: $\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ với $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Tính $\cos\alpha$.
- Cho $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Tính $\tan\alpha$, $\cot\alpha$.
- Cho $\tan\alpha = 3$. Tính $\dfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$.
- Chứng minh $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$.
- Rút gọn $\sin^2\alpha \cdot (1 + \cot^2\alpha)$.
Đáp án
- $\cos^2\alpha = \dfrac{8}{9}$, góc tù nên $\cos\alpha = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
- $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$; $\tan\alpha = \dfrac{3}{4}$, $\cot\alpha = \dfrac{4}{3}$.
- Chia tử và mẫu cho $\cos\alpha$: $\dfrac{3 + 1}{3 - 1} = 2$.
- $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$.
- $\sin^2\alpha \cdot \dfrac{1}{\sin^2\alpha} = 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Xem tất cả bài học chủ điểm Hệ thức lượng trong tam giác
Câu hỏi thường gặp
Hệ thức cơ bản quan trọng nhất là gì?
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Biết $\cos\alpha$ tính $\sin\alpha$ thế nào?
Dùng $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ rồi chọn dấu theo khoảng của $\alpha$.
$\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ liên hệ ra sao?
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.
Với góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$, $\sin\alpha$ có thể âm không?
Không, $\sin\alpha \geq 0$.