Ứng dụng hệ thức lượng trong đo đạc: đo chiều cao, khoảng cách và bài tập có đáp án Toán 10

Ứng dụng hệ thức lượng trong đo đạc giúp tính chiều cao của tháp, khoảng cách giữa hai điểm bị ngăn cách bởi hồ nước bằng định lí sin và định lí côsin. Các bước giải, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 10.

$Ứng dụng hệ thức lượng trong đo đạc: đo chiều cao, khoảng cách và bài tập có đáp án Toán 10$

Ứng dụng hệ thức lượng trong đo đạc

Ứng dụng hệ thức lượng trong đo đạc là một trong những ứng dụng thực tế quan trọng của chương: ta có thể tính chiều cao của một tòa tháp hay khoảng cách giữa hai điểm không thể đo trực tiếp chỉ bằng vài số đo cạnh và góc, rồi dùng định lí sin và định lí côsin.

Các bước giải bài toán đo đạc

Vẽ hình mô tả bài toán và đặt tên các điểm.
Xác định tam giác chứa đại lượng cần tìm.
Chọn định lí phù hợp (sin, côsin hoặc tỉ số lượng giác của tam giác vuông).
Tính toán rồi đổi sang đơn vị đo thực tế.

Xem bài: Giải tam giác

Ví dụ 1: chiều cao tòa tháp

Đề bài

Từ hai điểm $A$, $B$ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua chân tháp và cách nhau $24$ m, người ta nhìn đỉnh tháp dưới các góc nâng $30^\circ$ (tại $A$) và $45^\circ$ (tại $B$, gần tháp hơn). Tính chiều cao tháp.

Lời giải

Gọi chân tháp là $H$, chiều cao $h$, $BH = x$. Tại $B$: $h = x\tan 45^\circ = x$.
Tại $A$: $h = (x + 24)\tan 30^\circ = \dfrac{x + 24}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $x\sqrt{3} = x + 24$ nên $x = \dfrac{24}{\sqrt{3} - 1} = 12(\sqrt{3} + 1) \approx 32{,}8$.
Chiều cao tháp khoảng $32{,}8$ m.

Hai góc nâng cho hai phương trình, giải ra $x$ rồi suy ra $h$.

Ví dụ 2: khoảng cách giữa hai điểm bị ngăn cách

Đề bài

Hai điểm $A$ và $B$ nằm hai bên một cái hồ. Từ điểm $C$ đo được $CA = 100$ m, $CB = 120$ m và $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính $AB$.

Lời giải

Theo định lí côsin: $AB^2 = 100^2 + 120^2 - 2 \cdot 100 \cdot 120 \cdot \cos 60^\circ = 10000 + 14400 - 12000 = 12400$.
$AB = \sqrt{12400} \approx 111{,}4$ m.

Xem bài: Định lí côsin

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Đứng cách chân một tòa nhà $50$ m, nhìn đỉnh dưới góc nâng $35^\circ$ (bỏ qua chiều cao người đo). Tính chiều cao tòa nhà.
Từ điểm $C$ đo $CA = 80$ m, $CB = 60$ m, $\widehat{ACB} = 90^\circ$. Tính $AB$.
Cột cờ có bóng dài $12$ m khi tia nắng hợp với mặt đất góc $60^\circ$. Tính chiều cao cột cờ.
Tam giác $ABC$ có $AB = 30$ m, các góc $A = 45^\circ$, $B = 75^\circ$. Tính $BC$.
Có thể dùng định lí nào để tính khoảng cách giữa hai điểm bị ngăn cách bởi sông khi đo được một cạnh và hai góc?

Đáp án

$h = 50\tan 35^\circ \approx 35$ m.
$AB = \sqrt{80^2 + 60^2} = 100$ m.
$h = 12\tan 60^\circ = 12\sqrt{3} \approx 20{,}8$ m.
$C = 60^\circ$; $BC = \dfrac{AB\sin A}{\sin C} = \dfrac{30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10\sqrt{6} \approx 24{,}5$ m.
Định lí sin.