Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: cắt, tiếp xúc, không cắt và bài tập có đáp án
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn được xác định bằng cách so sánh khoảng cách d(I, Δ) với bán kính R: cắt khi d nhỏ hơn R, tiếp xúc khi bằng R, không cắt khi lớn hơn R. Cách tìm giao điểm, ví dụ và bài tập có đáp án.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có ba trường hợp, quyết định bởi khoảng cách $d$ từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ so với bán kính $R$: cắt nhau tại hai điểm khi $d < R$, tiếp xúc khi $d = R$ và không có điểm chung khi $d > R$.
Ba trường hợp
| So sánh | Vị trí | Số điểm chung |
|---|---|---|
| $d(I, \Delta) < R$ | Cắt nhau | $2$ |
| $d(I, \Delta) = R$ | Tiếp xúc | $1$ |
| $d(I, \Delta) > R$ | Không cắt | $0$ |
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Ví dụ
Ví dụ 1: không cắt
Đường tròn $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ ($I(1; 1)$, $R = 2$), $\Delta: x + y - 6 = 0$.
$d = \dfrac{|1 + 1 - 6|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 > 2$ nên không cắt.
Ví dụ 2: cắt nhau
Cùng đường tròn, $\Delta: x - y = 0$: $d = 0 < 2$ nên cắt nhau.
Thay $y = x$: $2(x - 1)^2 = 4 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$. Giao điểm $(1 + \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ và $(1 - \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2})$.
Ví dụ 3: tiếp xúc
$\Delta: x - 3 = 0$: $d = |1 - 3| = 2 = R$ nên tiếp xúc tại $(3; 1)$.
Độ dài dây cung
Khi $\Delta$ cắt đường tròn tại $A$, $B$ thì độ dài dây cung là $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.
Ví dụ
Đường tròn $x^2 + y^2 = 25$ và $\Delta: 3x + 4y - 10 = 0$: $d = \dfrac{10}{5} = 2$, $AB = 2\sqrt{25 - 4} = 2\sqrt{21}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Xét vị trí của $x + y - 5 = 0$ và $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$.
- Xét vị trí của $3x - 4y + 5 = 0$ và $x^2 + y^2 = 1$.
- Tìm giao điểm của $y = x$ và $x^2 + y^2 = 8$.
- Tính độ dài dây cung của $x^2 + y^2 = 13$ cắt bởi $x = 2$.
- Tìm $m$ để $y = x + m$ tiếp xúc với $x^2 + y^2 = 2$.
Đáp án
- $d = \dfrac{|2 + 1 - 5|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} = R$ nên tiếp xúc.
- $d = \dfrac{5}{5} = 1 = R$ nên tiếp xúc.
- $2x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2$: $(2; 2)$ và $(-2; -2)$.
- $d = 2$, $R^2 = 13$: $AB = 2\sqrt{13 - 4} = 6$.
- $\dfrac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow m = \pm 2$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Câu hỏi thường gặp
Đường thẳng và đường tròn có những vị trí tương đối nào?
Cắt nhau, tiếp xúc hoặc không có điểm chung.
Làm sao xác định vị trí tương đối?
So sánh khoảng cách $d(I, \Delta)$ với bán kính $R$.
Tìm giao điểm thế nào?
Thay phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn.
Độ dài dây cung tính ra sao?
$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.