Elip: định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai và bài tập có đáp án

Q: Elip là gì?

Là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $2a$ không đổi.

Elip là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm F₁, F₂ bằng 2a không đổi. Phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1, tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục nhỏ, tâm sai, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10.

$Elip: định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai và bài tập có đáp án$

Elip là gì?

Elip là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho tổng các khoảng cách từ $M$ đến hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ (gọi là hai tiêu điểm) bằng một số không đổi $2a$ lớn hơn $F_1F_2$. Trong hệ tọa độ thích hợp, elip có phương trình chính tắc $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$.

Phương trình chính tắc và các yếu tố

Yếu tố	Giá trị
Tiêu điểm	$F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$
Tiêu cự	$F_1F_2 = 2c$
Đỉnh trên trục lớn	$A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$; độ dài trục lớn $2a$
Đỉnh trên trục nhỏ	$B_1(0; -b)$, $B_2(0; b)$; độ dài trục nhỏ $2b$
Tâm sai	$e = \dfrac{c}{a}$ ($0 < e < 1$)
Bán kính qua tiêu	$MF_1 = a + \dfrac{c}{a}x_M$, $MF_2 = a - \dfrac{c}{a}x_M$

Xem bài: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Ví dụ

Ví dụ 1

Elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$: $a = 5$, $b = 3$, $c = \sqrt{25 - 9} = 4$.
Tiêu điểm $F_{1,2}(\pm 4; 0)$, tiêu cự $8$, trục lớn $10$, trục nhỏ $6$, $e = \dfrac{4}{5}$.

Ví dụ 2: viết phương trình

Elip có độ dài trục lớn $12$, tiêu cự $8$: $a = 6$, $c = 4$, $b^2 = 36 - 16 = 20$.
$\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{20} = 1$.

Ví dụ 3

Elip qua $A(5; 0)$ và $B(0; 3)$ với tâm $O$: $a = 5$, $b = 3$ nên $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Ứng dụng thực tế

Quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời là các elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm. Nhiều cổng vòm và hình ảnh trong kiến trúc cũng có dạng elip.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$.
Viết phương trình elip có trục lớn $10$, trục nhỏ $8$.
Viết phương trình elip có $a = 5$ và tiêu điểm $F_1(-3; 0)$.
Cho elip $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ và điểm $M(3; 0)$. Tính $MF_1 + MF_2$.
Elip $4x^2 + 9y^2 = 36$ có độ dài trục lớn và trục nhỏ là bao nhiêu?

Đáp án

$c^2 = 9$, $c = 3$; $F(\pm 3; 0)$, tiêu cự $6$, $e = \dfrac{3}{4}$.
$a = 5$, $b = 4$: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$.
$c = 3$, $b^2 = 25 - 9 = 16$: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$.
$MF_1 + MF_2 = 2a = 6$.
Viết $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$: trục lớn $2a = 6$, trục nhỏ $2b = 4$.