Hypebol: định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, đường tiệm cận và bài tập có đáp án Toán 10

Hypebol là tập hợp các điểm M có hiệu các khoảng cách đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 2a không đổi. Phương trình chính tắc x²/a² − y²/b² = 1, tiêu điểm, tiệm cận, tâm sai, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10.

$Hypebol: định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, đường tiệm cận và bài tập có đáp án Toán 10$

Hypebol là gì?

Hypebol là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm $F_1$, $F_2$ bằng một số không đổi $2a$ nhỏ hơn $F_1F_2$. Phương trình chính tắc của hypebol là $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a, b > 0$.

Phương trình chính tắc và các yếu tố

Yếu tố	Giá trị
Tiêu điểm	$F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$; tiêu cự $2c$
Đỉnh	$A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$
Trục thực / trục ảo	$2a$ / $2b$
Đường tiệm cận	$y = \pm\dfrac{b}{a}x$
Tâm sai	$e = \dfrac{c}{a} > 1$
Tính chất	$\|MF_1 - MF_2\| = 2a$

Xem bài: Elip

Ví dụ

Ví dụ 1

Hypebol $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$: $a = 3$, $b = 4$, $c = \sqrt{9 + 16} = 5$.
Tiêu điểm $(\pm 5; 0)$, đỉnh $(\pm 3; 0)$, tiệm cận $y = \pm\dfrac{4}{3}x$, $e = \dfrac{5}{3}$.

Ví dụ 2: viết phương trình

Hypebol có trục thực $2a = 8$ và tiêu cự $2c = 10$: $a = 4$, $c = 5$, $b^2 = 25 - 16 = 9$.
$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$.

So sánh elip và hypebol

Tiêu chí	Elip	Hypebol
Phương trình	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
Quan hệ $a, b, c$	$c^2 = a^2 - b^2$	$c^2 = a^2 + b^2$
Tâm sai	$0 < e < 1$	$e > 1$
Tính chất	Tổng $MF_1 + MF_2 = 2a$	Hiệu $\|MF_1 - MF_2\| = 2a$

Xem bài: Parabol

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tiêu điểm, đỉnh và tiệm cận của $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1$.
Viết phương trình hypebol có $a = 3$, $c = 5$.
Tìm tâm sai của $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$.
Điểm $M(5; \dfrac{9}{4})$ có thuộc $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ không?
Hypebol có tiệm cận $y = \pm 2x$ và $a = 1$. Tìm $b$.

Đáp án

$c = 3$; $F(\pm 3; 0)$, đỉnh $(\pm 2; 0)$, tiệm cận $y = \pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}x$.
$b^2 = 25 - 9 = 16$: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.
$c = 5$, $e = \dfrac{5}{4}$.
$\dfrac{25}{16} - \dfrac{81/16}{9} = \dfrac{25}{16} - \dfrac{9}{16} = 1$. Có thuộc.
$\dfrac{b}{a} = 2 \Rightarrow b = 2$.