Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: tại một điểm, qua điểm ngoài và bài tập có đáp án Toán 10
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M₀(x₀; y₀) thuộc đường tròn tâm I(a; b) là (x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0. Điều kiện tiếp xúc d(I, Δ) = R, tiếp tuyến qua điểm ngoài, ví dụ và bài tập có đáp án.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn là $(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$. Tiếp tuyến tại $M_0$ vuông góc với bán kính $IM_0$, nên nhận $\overrightarrow{IM_0}$ làm vectơ pháp tuyến.
Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn
Ví dụ 1
Đường tròn $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$, điểm $M_0(4; 6)$ (kiểm tra $9 + 16 = 25$).
Tiếp tuyến: $3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$.
Ví dụ 2
Đường tròn $x^2 + y^2 = 4$ tại $M_0(2; 0)$: $2(x - 2) + 0 \cdot (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
Xem bài: Phương trình đường tròn
Điều kiện tiếp xúc
Ví dụ
Tìm $m$ để $\Delta: 3x + 4y + m = 0$ tiếp xúc với $x^2 + y^2 = 4$.
$d(O, \Delta) = \dfrac{|m|}{5} = 2 \Leftrightarrow m = \pm 10$.
Tiếp tuyến qua điểm ngoài đường tròn
- Gọi tiếp tuyến $\Delta$ qua $A$ có dạng $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$.
- Dùng điều kiện $d(I, \Delta) = R$ để tìm tỉ số $a : b$.
- Mỗi tỉ số cho một tiếp tuyến (có tối đa hai).
Ví dụ
Từ $A(2; 0)$ kẻ tiếp tuyến đến $x^2 + y^2 = 1$. Tiếp tuyến $\Delta: kx - y - 2k = 0$.
$d(O, \Delta) = \dfrac{|2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 \Leftrightarrow 3k^2 = 1 \Leftrightarrow k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Xem bài: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết tiếp tuyến của $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$ tại $M(2; 1)$.
- Viết tiếp tuyến của $x^2 + y^2 = 25$ tại $M(3; 4)$.
- Tìm $m$ để $x + y + m = 0$ tiếp xúc với $x^2 + y^2 = 2$.
- Viết tiếp tuyến của $x^2 + y^2 = 4$ tại $M(0; 2)$.
- Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là gì?
Đáp án
- Kiểm tra: $1 + 4 = 5$. $\overrightarrow{IM} = (1; 2)$: $(x - 2) + 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0$.
- $3(x - 3) + 4(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 25 = 0$.
- $\dfrac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow m = \pm 2$.
- $2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2$.
- $d(I, \Delta) = R$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình đường tròn
Bài tiếp theo: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Câu hỏi thường gặp
Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm là gì?
Là đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với bán kính.
Công thức viết tiếp tuyến tại $M_0$?
$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$.
Điều kiện tiếp xúc là gì?
$d(I, \Delta) = R$.
Từ một điểm ngoài kẻ được mấy tiếp tuyến?
Hai tiếp tuyến.