Phương trình đường tròn: dạng chính tắc, dạng khai triển, tìm tâm bán kính và bài tập có đáp án

Q: Phương trình đường tròn là gì?

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ với tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$.

Q: Làm sao tìm tâm và bán kính từ dạng khai triển?

$I(a; b)$ với $-2a$, $-2b$ là hệ số của $x$, $y$ và $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là (x − a)² + (y − b)² = R². Dạng khai triển x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, cách tìm tâm và bán kính, đường tròn qua ba điểm, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10.

$Phương trình đường tròn: dạng chính tắc, dạng khai triển, tìm tâm bán kính và bài tập có đáp án$

Phương trình đường tròn là gì?

Phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Đây là tập hợp các điểm $M(x; y)$ cách $I$ một khoảng bằng $R$. Khai triển ra ta được dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $c = a^2 + b^2 - R^2$.

Hai dạng của phương trình đường tròn

Dạng	Phương trình	Tâm, bán kính
Chính tắc	$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$	$I(a; b)$, $R$
Khai triển	$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$	$I(a; b)$, $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$ (cần $a^2 + b^2 - c > 0$)

Ví dụ 1

Tâm $I(1; -2)$, $R = 3$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$.

Ví dụ 2

$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$: $a = 2$, $b = -3$, $c = -12$.
$R^2 = 4 + 9 + 12 = 25$ nên $I(2; -3)$, $R = 5$.

Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Viết phương trình đường tròn

Đi qua ba điểm

Đường tròn qua $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(0; 2)$. Gọi phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$.
$A$: $c = 0$. $B$: $16 - 8a = 0 \Rightarrow a = 2$. $C$: $4 - 4b = 0 \Rightarrow b = 1$.
Tâm $I(2; 1)$, $R = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$.

Thay tọa độ ba điểm để tìm $a$, $b$, $c$.

Tâm và đi qua một điểm

Tâm $I(1; 1)$, đi qua $A(4; 5)$: $R = IA = 5$ nên $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$.

Đường kính

Đường kính $AB$ với $A(1; 2)$, $B(5; 6)$: tâm là trung điểm $I(3; 4)$, $R = \dfrac{AB}{2} = 2\sqrt{2}$.

Điều kiện để là phương trình đường tròn

Phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi $a^2 + b^2 - c > 0$. Nếu bằng $0$ thì chỉ là một điểm, nếu âm thì vô nghiệm.

Xem bài: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Viết phương trình đường tròn tâm $I(-1; 3)$, bán kính $4$.
Tìm tâm và bán kính của $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$.
Viết phương trình đường tròn tâm $O$ đi qua $A(3; 4)$.
Viết phương trình đường tròn đường kính $AB$ với $A(0; 0)$, $B(6; 8)$.
Phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0$ có phải đường tròn không?

Đáp án

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$.
$a = -1$, $b = 2$, $c = -4$; $R^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ nên $I(-1; 2)$, $R = 3$.
$R = OA = 5$; $x^2 + y^2 = 25$.
Tâm $I(3; 4)$, $R = 5$: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$.
$a = 1$, $b = -2$, $c = 10$: $a^2 + b^2 - c = 5 - 10 < 0$ nên không phải đường tròn.