Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: công thức, khoảng cách hai đường song song, bài tập

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Công thức, cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, chiều cao tam giác, diện tích, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10.

$Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: công thức, khoảng cách hai đường song song, bài tập$

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được tính bằng công thức: với $\Delta: ax + by + c = 0$ và $M(x_0; y_0)$ thì $d(M, \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Đây là công thức quan trọng và dùng nhiều nhất của chương.

Công thức

Ví dụ 1

$M(1; 2)$, $\Delta: 3x + 4y - 5 = 0$.
$d = \dfrac{|3 + 8 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{6}{5}$.

Ví dụ 2

Khoảng cách từ gốc $O$ đến $x + y - 2 = 0$: $d = \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Xem bài: Góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Lấy một điểm bất kì trên đường thẳng này rồi tính khoảng cách đến đường thẳng kia.

Ví dụ

$d_1: x + y - 2 = 0$, $d_2: x + y + 4 = 0$. Lấy $A(2; 0) \in d_1$.
$d(d_1, d_2) = d(A, d_2) = \dfrac{|2 + 0 + 4|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Ứng dụng: chiều cao và diện tích tam giác

Ví dụ

Tam giác $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(1; 3)$. Cạnh $AB$: $y = 0$. Chiều cao từ $C$ là $d(C, AB) = 3$.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Xem bài: Phương trình đường tròn

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính khoảng cách từ $M(2; 3)$ đến $3x - 4y + 1 = 0$.
Tính khoảng cách từ $O$ đến $4x + 3y - 10 = 0$.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $x - y + 1 = 0$ và $x - y - 3 = 0$.
Tính chiều cao $AH$ của tam giác $A(1; 2)$, $B(0; 0)$, $C(4; 0)$.
Tìm điểm $M$ trên $Ox$ cách đường thẳng $3x + 4y - 5 = 0$ một khoảng bằng $2$.

Đáp án

$d = \dfrac{|6 - 12 + 1|}{5} = 1$.
$d = \dfrac{10}{5} = 2$.
Lấy $A(0; 1)$: $d = \dfrac{|0 - 1 - 3|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
Đường $BC$: $y = 0$ nên $AH = d(A, BC) = 2$.
$M(m; 0)$: $\dfrac{|3m - 5|}{5} = 2 \Leftrightarrow 3m - 5 = \pm 10$ nên $m = 5$ hoặc $m = -\dfrac{5}{3}$.