Góc giữa hai đường thẳng: định nghĩa, công thức bằng vectơ pháp tuyến và bài tập có đáp án Toán 10
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất tạo bởi chúng, từ 0° đến 90°. Công thức cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) bằng vectơ pháp tuyến, trường hợp song song và vuông góc, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán 10.
Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc do chúng tạo ra, có số đo từ $0^\circ$ đến $90^\circ$. Quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau bằng $0^\circ$.
Công thức tính góc
- Có dấu giá trị tuyệt đối để góc luôn nằm trong $[0^\circ; 90^\circ]$.
- Có thể dùng VTCP thay cho VTPT, công thức giữ nguyên.
Xem bài: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ
Ví dụ 1
$\Delta_1: x + y = 0$ ($\vec{n_1} = (1; 1)$), $\Delta_2: x = 0$ ($\vec{n_2} = (1; 0)$).
$\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\varphi = 45^\circ$.
Ví dụ 2: vuông góc
$\Delta_1: x - y + 1 = 0$, $\Delta_2: x + y - 3 = 0$.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 - 1 = 0$ nên $\varphi = 90^\circ$.
Ví dụ 3
$\Delta_1: 2x - y + 1 = 0$, $\Delta_2: x + 3y - 2 = 0$.
$\cos\varphi = \dfrac{|2 - 3|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} \approx 0{,}141$ nên $\varphi \approx 81{,}9^\circ$.
Trường hợp đặc biệt
| Điều kiện | Góc $\varphi$ |
|---|---|
| $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ cùng phương (song song/trùng) | $0^\circ$ |
| $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ | $90^\circ$ |
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính góc giữa $x + y - 1 = 0$ và $x - y + 2 = 0$.
- Tính góc giữa $x - 2y + 1 = 0$ và $2x + y - 3 = 0$.
- Tính $\cos$ góc giữa $3x + 4y - 1 = 0$ và $y = 0$.
- Tìm $m$ để $mx + y - 1 = 0$ vuông góc với $2x - y + 3 = 0$.
- Góc giữa hai đường thẳng song song bằng bao nhiêu?
Đáp án
- $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ nên $90^\circ$.
- $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 - 2 = 0$ nên $90^\circ$.
- $\vec{n_1} = (3; 4)$, $\vec{n_2} = (0; 1)$: $\cos = \dfrac{4}{5}$.
- $2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$.
- $0^\circ$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tiếp theo: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng nào?
Từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng là gì?
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$.
Khi nào hai đường thẳng vuông góc?
Khi $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
Góc giữa hai đường thẳng song song là bao nhiêu?
$0^\circ$.