Vị trí tương đối của hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau và bài tập có đáp án Toán 10

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng gồm cắt nhau, song song và trùng nhau, xét qua phương trình tổng quát. Điều kiện bằng định thức, cách tìm giao điểm, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.

$Vị trí tương đối của hai đường thẳng: cắt nhau, song song, trùng nhau và bài tập có đáp án Toán 10$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ có ba khả năng: cắt nhau tại một điểm, song song hoặc trùng nhau. Số điểm chung của hai đường thẳng chính là số nghiệm của hệ gồm hai phương trình đó.

Điều kiện nhận biết

Vị trí	Điều kiện (khi $a_2, b_2, c_2 \neq 0$)	Số điểm chung
Cắt nhau	$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	$1$
Song song	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	$0$
Trùng nhau	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	Vô số

Cách tổng quát: tính $D = a_1b_2 - a_2b_1$. $D \neq 0$ thì cắt nhau; $D = 0$ thì song song hoặc trùng (xét thêm hệ số $c$).

Xem bài: Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ví dụ

Ví dụ 1: cắt nhau

$d_1: x - y + 1 = 0$, $d_2: 2x + y - 4 = 0$.
$D = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 3 \neq 0$ nên cắt nhau.
Cộng hai phương trình: $3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$, $y = 2$. Giao điểm $(1; 2)$.

Ví dụ 2: song song

$d_1: x + y - 2 = 0$, $d_2: 2x + 2y - 5 = 0$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{-2}{-5}$ nên song song.

Ví dụ 3: trùng nhau

$d_1: x - 2y + 3 = 0$, $d_2: 2x - 4y + 6 = 0$ có $\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{3}{6}$ nên trùng nhau.

Dùng vectơ pháp tuyến

Hai đường thẳng song song hoặc trùng khi hai VTPT cùng phương; vuông góc khi $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, tức $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

Xem bài: Góc giữa hai đường thẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét vị trí của $x + 2y - 3 = 0$ và $2x + 4y + 1 = 0$.
Xét vị trí của $3x - y + 2 = 0$ và $x + y - 6 = 0$ và tìm giao điểm.
Xét vị trí của $2x - y + 4 = 0$ và $4x - 2y + 8 = 0$.
Tìm $m$ để $x + my - 1 = 0$ song song với $2x + 4y + 3 = 0$.
Hai đường thẳng $x + y - 1 = 0$ và $x - y + 1 = 0$ có vuông góc không?

Đáp án

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{-3}{1}$ nên song song.
$D = 3 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 4 \neq 0$ cắt nhau; cộng: $4x - 4 = 0$, $x = 1$, $y = 5$. Giao điểm $(1; 5)$.
$\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{4}{8}$ nên trùng nhau.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{m}{4} \Rightarrow m = 2$; kiểm tra $\dfrac{-1}{3} \neq \dfrac{1}{2}$ nên song song.
$1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$ nên vuông góc.