Phương trình tổng quát của đường thẳng: cách viết, các dạng đặc biệt và bài tập có đáp án Toán 10

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 với a, b không đồng thời bằng 0, trong đó n = (a; b) là vectơ pháp tuyến. Cách viết, đường thẳng qua hai điểm, hệ số góc, dạng đoạn chắn, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Phương trình tổng quát của đường thẳng: cách viết, các dạng đặc biệt và bài tập có đáp án Toán 10$

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ có dạng $ax + by + c = 0$ với $a^2 + b^2 \neq 0$, trong đó $\vec{n} = (a; b)$ là một vectơ pháp tuyến. Nếu $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có VTPT $\vec{n} = (a; b)$ thì phương trình là $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.

Cách viết khi biết điểm và VTPT

Ví dụ 1

Qua $M(1; 2)$, VTPT $\vec{n} = (1; 2)$:
$1(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0$.

Xem bài: Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng đi qua hai điểm

Tìm VTCP $\overrightarrow{AB}$.
Suy ra VTPT bằng cách đổi $(a; b) \to (-b; a)$.
Viết phương trình qua $A$ với VTPT đó.

Ví dụ 2

Qua $A(1; 1)$, $B(3; 5)$: $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$ nên VTPT $(4; -2)$, hay $(2; -1)$.
$2(x - 1) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0$.

Kiểm tra: $B$ cho $6 - 5 - 1 = 0$.

Các dạng đặc biệt

Phương trình	Đường thẳng
$ax + by = 0$	Đi qua gốc tọa độ
$by + c = 0$ ($a = 0$)	Song song hoặc trùng $Ox$
$ax + c = 0$ ($b = 0$)	Song song hoặc trùng $Oy$
$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$	Cắt $Ox$ tại $(p; 0)$, $Oy$ tại $(0; q)$ (dạng đoạn chắn)
$y = kx + m$	Hệ số góc $k$, cắt $Oy$ tại $(0; m)$

Xem bài: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua $M(2; 3)$ có VTPT $(3; -1)$.
Viết phương trình đường thẳng qua $A(1; 2)$ và $B(3; 6)$.
Viết phương trình đường thẳng qua $A(2; 0)$ và $B(0; 3)$ (dạng đoạn chắn).
Tìm một VTPT và VTCP của đường thẳng $4x - 3y + 7 = 0$.
Viết phương trình đường thẳng qua $M(1; -1)$ song song với $Oy$.

Đáp án

$3(x - 2) - (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 3 = 0$.
$\overrightarrow{AB} = (2; 4)$, VTPT $(2; -1)$: $2(x - 1) - (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$.
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0$.
VTPT $(4; -3)$; VTCP $(3; 4)$.
$x - 1 = 0$, tức $x = 1$.