Phương trình tham số của đường thẳng: cách viết, đổi sang tổng quát và bài tập có đáp án Toán 10

Phương trình tham số của đường thẳng qua M₀(x₀; y₀) có vectơ chỉ phương u = (a; b) là x = x₀ + at, y = y₀ + bt. Cách viết, kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, chuyển sang phương trình tổng quát, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Phương trình tham số của đường thẳng: cách viết, đổi sang tổng quát và bài tập có đáp án Toán 10$

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ là $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ ($t$ là tham số). Mỗi giá trị của $t$ cho một điểm của đường thẳng.

Cách viết phương trình tham số

Xác định một điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc đường thẳng.
Xác định một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$.
Viết $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$.

Ví dụ 1

Đường thẳng qua $M(1; 2)$ có VTCP $\vec{u} = (2; -1)$:
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \end{cases}$.

Với $t = 1$ ta được điểm $(3; 1)$.

Ví dụ 2: qua hai điểm

Qua $A(1; 1)$, $B(3; 5)$: VTCP $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$.
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + 4t \end{cases}$.

Xem bài: Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng

Ví dụ

Điểm $N(5; 9)$ có thuộc đường thẳng ở Ví dụ 2 không?
$5 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2$; $9 = 1 + 4t \Rightarrow t = 2$. Cùng $t$ nên $N$ thuộc đường thẳng.

Hai giá trị $t$ phải bằng nhau.

Chuyển sang phương trình tổng quát

Khử $t$ giữa hai phương trình. Từ $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \end{cases}$ ta có $t = 2 - y$ nên $x = 1 + 2(2 - y)$, tức $x + 2y - 5 = 0$.

Xem bài: Phương trình tổng quát của đường thẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(0; 1)$, VTCP $(3; 2)$.
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(2; 3)$ và $B(5; 7)$.
Điểm $(7; 11)$ có thuộc đường thẳng $\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \end{cases}$ không?
Chuyển $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \end{cases}$ sang phương trình tổng quát.
Tìm một VTCP của $\begin{cases} x = 4 - 5t \\ y = 1 + t \end{cases}$.

Đáp án

$\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$.
$\overrightarrow{AB} = (3; 4)$; $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$.
$7 = 3 + 2t \Rightarrow t = 2$; $11 = 5 + 3t \Rightarrow t = 2$. Có thuộc.
$t = x - 2$ nên $y = 1 - 2(x - 2)$, tức $2x + y - 5 = 0$.
$\vec{u} = (-5; 1)$.