Ứng dụng hàm số bậc hai vào bài toán thực tế: diện tích lớn nhất, ném vật và lợi nhuận

Q: Hàm số bậc hai ứng dụng vào đâu?

Vào diện tích, chuyển động ném xiên, kinh tế (doanh thu, lợi nhuận) và nhiều bài tối ưu.

Q: Làm sao tìm giá trị lớn nhất trong bài thực tế?

Lập hàm bậc hai có $a < 0$ rồi lấy giá trị tại đỉnh.

Q: Đỉnh nằm ngoài điều kiện thì sao?

So sánh giá trị tại hai đầu mút của khoảng điều kiện.

Q: Có cần ghi đơn vị không?

Có, kết luận phải kèm đơn vị đúng.

Ứng dụng hàm số bậc hai giúp giải các bài toán thực tế như tìm diện tích lớn nhất, độ cao của vật ném lên và lợi nhuận cực đại. Các bước mô hình hóa, ví dụ có lời giải, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Ứng dụng hàm số bậc hai vào bài toán thực tế: diện tích lớn nhất, ném vật và lợi nhuận$

Ứng dụng hàm số bậc hai vào bài toán thực tế

Ứng dụng hàm số bậc hai xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế: tìm diện tích lớn nhất của khu đất, độ cao lớn nhất của vật được ném lên, doanh thu hay lợi nhuận lớn nhất. Điểm chung là mô hình hóa bằng một hàm số bậc hai rồi tìm giá trị cực trị tại đỉnh parabol.

Các bước giải

Chọn ẩn $x$ phù hợp và nêu điều kiện của $x$.
Lập hàm số bậc hai biểu diễn đại lượng cần tối ưu.
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (tại đỉnh, hoặc trên đoạn).
Kết luận và trả lời đúng yêu cầu bài toán.

Xem bài: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Ví dụ 1: diện tích lớn nhất

Đề bài

Dùng $40$ m hàng rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật. Tính diện tích lớn nhất.

Lời giải

Gọi chiều dài là $x$ (m), $0 < x < 20$ thì chiều rộng là $20 - x$.
Diện tích $S(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$.
Đỉnh tại $x = 10$, $S = 100$.
Diện tích lớn nhất là $100\ \text{m}^2$, khi vườn là hình vuông cạnh $10$ m.

Ví dụ 2: vật ném lên cao

Đề bài

Độ cao của quả bóng sau $t$ giây là $h(t) = -5t^2 + 20t$ (m). Tìm độ cao lớn nhất và thời điểm bóng chạm đất.

Lời giải

Đỉnh tại $t = 2$, $h(2) = -20 + 40 = 20$ m.
Bóng chạm đất khi $h(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 4$.
Độ cao lớn nhất $20$ m; chạm đất sau $4$ giây.

Ví dụ 3: lợi nhuận

Lời giải

Lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 60x - 500$ (triệu đồng) khi bán $x$ sản phẩm.
Đỉnh tại $x = 30$, $P = -900 + 1800 - 500 = 400$.
Lợi nhuận cực đại $400$ triệu đồng khi bán $30$ sản phẩm.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Dùng $60$ m lưới rào hình chữ nhật. Tính diện tích lớn nhất.
Quả bóng có độ cao $h(t) = -4t^2 + 16t$ (m). Tìm độ cao lớn nhất.
Doanh thu khi bán giá $x$ nghìn đồng là $R(x) = x(100 - 2x)$. Tìm $x$ để doanh thu lớn nhất.
Quả bóng $h(t) = -5t^2 + 20t$ chạm đất sau bao lâu?
Lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 60x - 500$. Với $x$ nào thì $P(x) > 0$?

Đáp án

Cạnh $x$ và $30 - x$, $S = -x^2 + 30x$ lớn nhất tại $x = 15$: $225\ \text{m}^2$.
Đỉnh $t = 2$, $h = -16 + 32 = 16$ m.
$R = -2x^2 + 100x$, đỉnh $x = 25$, $R = 1250$ nghìn đồng.
Sau $4$ giây.
Nghiệm của $P$ là $10$ và $50$, $a < 0$ nên $P > 0$ khi $10 < x < 50$.