Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai: công thức, trên đoạn [m; n] và bài tập có đáp án

Q: Hàm số bậc hai có giá trị lớn nhất khi nào?

Khi $a < 0$, giá trị lớn nhất là $-\dfrac{\Delta}{4a}$ tại đỉnh.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai đạt tại đỉnh parabol khi xét trên R, còn trên đoạn thì so sánh giá trị tại đỉnh và hai đầu mút. Công thức, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai: công thức, trên đoạn [m; n] và bài tập có đáp án$

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ trên $\mathbb{R}$ đạt tại đỉnh parabol: $a > 0$ thì có giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$, $a < 0$ thì có giá trị lớn nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$. Khi xét trên một đoạn $[m; n]$ phải so sánh thêm giá trị tại hai đầu mút.

Trên toàn bộ tập số thực

Trường hợp	Giá trị đặc biệt	Đạt tại
$a > 0$	Nhỏ nhất $= -\dfrac{\Delta}{4a}$ (không có lớn nhất)	$x = -\dfrac{b}{2a}$
$a < 0$	Lớn nhất $= -\dfrac{\Delta}{4a}$ (không có nhỏ nhất)	$x = -\dfrac{b}{2a}$

Xem bài: Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Trên một đoạn [m; n]

Tính $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Nếu $x_0 \in [m; n]$: so sánh $f(m)$, $f(x_0)$, $f(n)$.
Nếu $x_0 \notin [m; n]$: so sánh $f(m)$ và $f(n)$ (hàm số đơn điệu trên đoạn).

Ví dụ

$y = x^2 - 2x$ trên $[0; 3]$: $x_0 = 1 \in [0; 3]$.
$f(0) = 0$, $f(1) = -1$, $f(3) = 3$.
Giá trị nhỏ nhất $= -1$ tại $x = 1$; giá trị lớn nhất $= 3$ tại $x = 3$.

Ví dụ

$y = -x^2 + 4x$ trên $[0; 1]$: $x_0 = 2 \notin [0; 1]$.
$f(0) = 0$, $f(1) = 3$.
Giá trị lớn nhất $= 3$ tại $x = 1$, nhỏ nhất $= 0$ tại $x = 0$.

Ứng dụng

Nhiều bài toán thực tế (diện tích lớn nhất, lợi nhuận lớn nhất, độ cao lớn nhất) quy về tìm giá trị lớn nhất của một hàm số bậc hai.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm giá trị nhỏ nhất của $y = x^2 - 6x + 5$.
Tìm giá trị lớn nhất của $y = -2x^2 + 4x + 1$.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = x^2 - 4x + 1$ trên $[0; 3]$.
Tìm giá trị lớn nhất của $y = -x^2 + 2x + 3$ trên $[2; 5]$.
Tìm hai số có tổng bằng $10$ để tích của chúng lớn nhất.

Đáp án

Đỉnh $x = 3$, $y = -4$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-4$.
Đỉnh $x = 1$, $y = 3$. Giá trị lớn nhất bằng $3$.
$x_0 = 2 \in [0; 3]$: $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(3) = -2$. Max $= 1$ tại $x = 0$, min $= -3$ tại $x = 2$.
$x_0 = 1 \notin [2; 5]$, hàm nghịch biến trên $[2; 5]$ nên max $= f(2) = 3$.
Gọi hai số $x$ và $10 - x$, tích $P = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ lớn nhất tại $x = 5$, $P = 25$. Hai số là $5$ và $5$.