Sự biến thiên của hàm số bậc hai: bảng biến thiên, khoảng đồng biến nghịch biến và bài tập có đáp án

Q: Hàm số bậc hai đồng biến trên khoảng nào?

Khi $a > 0$ trên $(x_0; +\infty)$; khi $a < 0$ trên $(-\infty; x_0)$ với $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Q: Bảng biến thiên cho biết điều gì?

Chiều biến thiên của hàm số và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại đỉnh.

Q: Hàm số bậc hai có đơn điệu trên $\mathbb{R}$ không?

Không, nó đổi chiều tại đỉnh.

Sự biến thiên của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của a và hoành độ đỉnh x = -b/2a. Bảng biến thiên cho a dương và a âm, khoảng đồng biến nghịch biến, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Sự biến thiên của hàm số bậc hai: bảng biến thiên, khoảng đồng biến nghịch biến và bài tập có đáp án$

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Sự biến thiên của hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ được quyết định bởi dấu của $a$ và hoành độ đỉnh $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Hàm số đổi chiều biến thiên tại đỉnh của parabol.

Bảng biến thiên

Trường hợp	Khoảng $(-\infty; x_0)$	Khoảng $(x_0; +\infty)$	Giá trị tại đỉnh
$a > 0$	Nghịch biến	Đồng biến	Nhỏ nhất $= -\dfrac{\Delta}{4a}$
$a < 0$	Đồng biến	Nghịch biến	Lớn nhất $= -\dfrac{\Delta}{4a}$

Xem bài: Đồ thị hàm số bậc hai

Ví dụ

Ví dụ 1

$y = x^2 - 4x + 3$: $a = 1 > 0$, $x_0 = 2$.
Nghịch biến trên $(-\infty; 2)$, đồng biến trên $(2; +\infty)$, giá trị nhỏ nhất $y = -1$ tại $x = 2$.

Ví dụ 2

$y = -2x^2 + 4x + 1$: $a = -2 < 0$, $x_0 = 1$.
Đồng biến trên $(-\infty; 1)$, nghịch biến trên $(1; +\infty)$, giá trị lớn nhất $y = 3$ tại $x = 1$.

Cách lập bảng biến thiên

Xác định $a$, tính $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ và $y_0 = f(x_0)$.
Vẽ bảng: dòng $x$ gồm $-\infty$, $x_0$, $+\infty$; dòng $y$ có mũi tên theo dấu của $a$.
Ghi giá trị $y_0$ tại $x_0$ (nhỏ nhất hoặc lớn nhất).

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Lập bảng biến thiên của $y = x^2 - 2x - 3$.
Lập bảng biến thiên của $y = -x^2 + 2x$.
Hàm số $y = 2x^2 - 8x + 1$ đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số $y = -3x^2 + 6x$ nghịch biến trên khoảng nào?
Hàm số $y = x^2 + 4x$ có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án

$x_0 = 1$, $y_0 = -4$; nghịch biến trên $(-\infty; 1)$, đồng biến trên $(1; +\infty)$, min $= -4$.
$x_0 = 1$, $y_0 = 1$; đồng biến trên $(-\infty; 1)$, nghịch biến trên $(1; +\infty)$, max $= 1$.
$x_0 = 2$ nên đồng biến trên $(2; +\infty)$.
$x_0 = 1$ nên nghịch biến trên $(1; +\infty)$.
$x_0 = -2$, $y_0 = 4 - 8 = -4$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-4$.