Đồ thị hàm số bậc hai: parabol, đỉnh, trục đối xứng, cách vẽ và bài tập có đáp án Toán 10

Đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một đường parabol có đỉnh và trục đối xứng x = -b/2a. Cách vẽ năm bước, giao điểm với các trục, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Đồ thị hàm số bậc hai: parabol, đỉnh, trục đối xứng, cách vẽ và bài tập có đáp án Toán 10$

Đồ thị hàm số bậc hai là gì?

Đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) là một đường parabol có đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ với $\Delta = b^2 - 4ac$ và trục đối xứng là đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$. Nắm vững các yếu tố này là cách vẽ nhanh và chính xác.

Các yếu tố của parabol

Yếu tố	Công thức
Đỉnh $I$	$\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
Trục đối xứng	$x = -\dfrac{b}{2a}$
Hướng bề lõm	$a > 0$: lên; $a < 0$: xuống
Giao với $Oy$	$(0; c)$
Giao với $Ox$	Nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$

Xem bài: Hàm số bậc hai

Năm bước vẽ parabol

Xác định bề lõm theo dấu của $a$.
Tìm tọa độ đỉnh $I$ và trục đối xứng.
Tìm giao điểm với $Oy$ (và với $Ox$ nếu có).
Lấy thêm các điểm đối xứng qua trục đối xứng.
Vẽ đường cong đi qua các điểm trên.

Ví dụ: vẽ y = x² − 4x + 3

Lời giải

$a = 1 > 0$ nên bề lõm hướng lên.
$\Delta = 16 - 12 = 4$, đỉnh $I(2; -1)$, trục đối xứng $x = 2$.
Giao $Oy$: $(0; 3)$. Giao $Ox$: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Điểm đối xứng của $(0; 3)$ qua $x = 2$ là $(4; 3)$.

Vẽ parabol đi qua $(0; 3)$, $(1; 0)$, $I(2; -1)$, $(3; 0)$, $(4; 3)$.

Xem bài: Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm đỉnh và trục đối xứng của $y = -x^2 + 4x - 3$.
Tìm đỉnh của $y = x^2 - 2x$ và các giao điểm với $Ox$.
Tìm đỉnh của $y = 2x^2 + 4x + 1$.
Tìm đỉnh của $y = x^2 - 6x + 5$.
Parabol $y = x^2 + 2x + 3$ có cắt $Ox$ không?

Đáp án

Đỉnh $I(2; 1)$, trục $x = 2$.
Đỉnh $I(1; -1)$; giao $Ox$ tại $x = 0$ và $x = 2$.
Đỉnh $I(-1; -1)$.
Đỉnh $I(3; -4)$.
$\Delta = 4 - 12 < 0$ và $a > 0$ nên parabol nằm hoàn toàn phía trên $Ox$, không cắt $Ox$.