Phương trình √f(x) = g(x): điều kiện g(x) ≥ 0, cách giải và bài tập có đáp án Toán 10

Phương trình √f(x) = g(x) tương đương với hệ g(x) ≥ 0 và f(x) = g(x)². Các bước giải, cách loại nghiệm ngoại lai, ví dụ chi tiết có thử lại, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.

$Phương trình √f(x) = g(x): điều kiện g(x) ≥ 0, cách giải và bài tập có đáp án Toán 10$

Cách giải phương trình √f(x) = g(x)

Phương trình √f(x) = g(x) có một vế là căn bậc hai nên vế phải phải không âm. Cách giải chuẩn là dùng phép biến đổi tương đương: $g(x) \geq 0$ và $f(x) = [g(x)]^2$, nhờ đó không cần thử lại nghiệm mà chỉ cần đối chiếu điều kiện.

Phương pháp giải

Đặt điều kiện $g(x) \geq 0$.
Bình phương hai vế: $f(x) = [g(x)]^2$ rồi giải phương trình (thường là bậc hai).
Chọn các nghiệm thỏa $g(x) \geq 0$.

Xem bài: Phương trình căn f(x) bằng căn g(x)

Ví dụ

Ví dụ 1

Giải $\sqrt{2x + 3} = x$.
Điều kiện $x \geq 0$. Bình phương: $2x + 3 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$.
Loại $x = -1$ (không thỏa $x \geq 0$). $S = \{3\}$.

Ví dụ 2

Giải $\sqrt{2x - 1} = x - 2$.
Điều kiện $x \geq 2$. Bình phương: $2x - 1 = x^2 - 4x + 4 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 5$.
Loại $x = 1$. $S = \{5\}$. Thử: $\sqrt{9} = 3 = 5 - 2$.

Ví dụ 3

Giải $\sqrt{x + 2} = x$.
$x \geq 0$, $x + 2 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -1$; nhận $x = 2$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Giải $\sqrt{x + 6} = x$.
Giải $\sqrt{3x - 2} = x$.
Giải $\sqrt{x^2 - 4x + 3} = x - 1$.
Giải $\sqrt{2x + 5} = x + 1$.
Giải $\sqrt{x - 2} = x - 4$.

Đáp án

$x \geq 0$, $x^2 - x - 6 = 0$ nên $x = 3$ (loại $-2$). $S = \{3\}$.
$x^2 - 3x + 2 = 0$ nên $x = 1$ hoặc $x = 2$; cả hai thỏa $x \geq 0$. $S = \{1; 2\}$.
$x \geq 1$, $x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x = 1$. $S = \{1\}$.
$x \geq -1$, $2x + 5 = x^2 + 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 = 4$; nhận $x = 2$ (loại $-2$). $S = \{2\}$.
$x \geq 4$, $x - 2 = x^2 - 8x + 16 \Leftrightarrow x^2 - 9x + 18 = 0$ nên $x = 6$ (loại $3$). $S = \{6\}$.