Phương trình √f(x) = √g(x): cách giải, điều kiện, thử nghiệm và bài tập có đáp án Toán 10
Phương trình √f(x) = √g(x) được giải bằng cách bình phương hai vế để đưa về f(x) = g(x), sau đó kiểm tra điều kiện. Các bước giải, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Cách giải phương trình √f(x) = √g(x)
Phương trình √f(x) = √g(x) là phương trình chứa căn có hai vế đều là căn bậc hai. Cách giải là bình phương hai vế để đưa về phương trình $f(x) = g(x)$ (thường là phương trình bậc hai), kèm điều kiện $g(x) \geq 0$ hoặc $f(x) \geq 0$, rồi chọn nghiệm thỏa điều kiện.
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện cho một trong hai biểu thức dưới căn.
- Bình phương hai vế, giải phương trình $f(x) = g(x)$.
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện rồi kết luận.
Xem bài: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Ví dụ
Ví dụ 1
Giải $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x + 3}$.
$2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$. Kiểm tra $x + 3 = 7 \geq 0$.
Tập nghiệm $S = \{4\}$.
Ví dụ 2
Giải $\sqrt{x^2 - 3x} = \sqrt{2x - 6}$.
$x^2 - 3x = 2x - 6 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3$.
Điều kiện $2x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$ nên loại $x = 2$.
Tập nghiệm $S = \{3\}$.
Nghiệm $x = 2$ làm $2x - 6 = -2 < 0$ nên không thỏa.
Ví dụ 3
Giải $\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{3x}$.
$x^2 - 4 = 3x \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -1$.
Điều kiện $3x \geq 0$ nên chỉ nhận $x = 4$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 5}$.
- Giải $\sqrt{x^2 - 2x} = \sqrt{x + 4}$.
- Giải $\sqrt{x^2 - x - 2} = \sqrt{2x - 2}$.
- Giải $\sqrt{2x^2 - 3} = \sqrt{x^2 + 1}$.
- Giải $\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}$.
Đáp án
- $3x + 1 = x + 5 \Leftrightarrow x = 2$; thỏa. $S = \{2\}$.
- $x^2 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = -1$; cả hai đều thỏa $x + 4 \geq 0$. $S = \{-1; 4\}$.
- $x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$; điều kiện $x \geq 1$ nên $S = \{3\}$.
- $x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$; $x^2 + 1 = 5 \geq 0$. $S = \{-2; 2\}$.
- $x - 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow x = 4$; $2x - 5 = 3 \geq 0$. $S = \{4\}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài tiếp theo: Phương trình chứa căn dạng căn f(x) bằng g(x)
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số bậc hai
Câu hỏi thường gặp
Phương trình căn bằng căn giải thế nào?
Bình phương hai vế để đưa về $f(x) = g(x)$ rồi kiểm tra điều kiện.
Cần đặt điều kiện nào?
Một trong hai biểu thức dưới căn không âm, thường là $g(x) \geq 0$.
Vì sao có nghiệm bị loại?
Vì phép bình phương làm mất điều kiện không âm của biểu thức dưới căn.
Có cần thử lại nghiệm không?
Có, hoặc kiểm tra điều kiện của nghiệm.