Phương trình quy về phương trình bậc hai: trùng phương, chứa ẩn ở mẫu, đặt ẩn phụ và bài tập
Phương trình quy về phương trình bậc hai gồm phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình dùng ẩn phụ. Cách giải từng dạng, điều kiện xác định, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Phương trình quy về phương trình bậc hai là gì?
Phương trình quy về phương trình bậc hai là những phương trình không phải bậc hai nhưng sau khi đặt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương sẽ đưa được về phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$. Ba dạng thường gặp là phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình chứa căn.
Ôn lại phương trình bậc hai
Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) có $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta > 0$ hai nghiệm $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, $\Delta = 0$ nghiệm kép, $\Delta < 0$ vô nghiệm.
Phương trình trùng phương
Dạng $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Đặt $t = x^2$ với $t \geq 0$ để đưa về $at^2 + bt + c = 0$.
Ví dụ
Giải $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Đặt $t = x^2 \geq 0$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 4$.
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$; $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Tập nghiệm $S = \{-2; -1; 1; 2\}$.
Nhớ loại các nghiệm $t < 0$ vì $x^2 \geq 0$.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Tìm điều kiện xác định (mẫu khác $0$).
- Quy đồng, khử mẫu để đưa về phương trình bậc hai.
- Giải phương trình, đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm.
Ví dụ
Giải $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$.
Điều kiện $x \neq 1$.
$x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$; loại $x = 1$.
Tập nghiệm $S = \{-1\}$.
Xem bài: Phương trình chứa căn dạng căn f(x) bằng căn g(x)
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
- Giải $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$.
- Giải $x^4 + x^2 - 2 = 0$.
- Giải $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
- Giải $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$.
Đáp án
- $t = 1$ hoặc $9$ nên $x \in \{-3; -1; 1; 3\}$.
- Điều kiện $x \neq 2$; $x = \pm 2$ nên $S = \{-2\}$.
- $t = 1$ hoặc $t = -2$ (loại) nên $x = \pm 1$.
- $\Delta = 9$; $x = 2$ hoặc $x = \dfrac{1}{2}$.
- Điều kiện $x \neq -3$; $x = \pm 3$ nên $S = \{3\}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài tiếp theo: Phương trình chứa căn dạng căn f(x) bằng căn g(x)
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số bậc hai
Câu hỏi thường gặp
Phương trình trùng phương giải thế nào?
Đặt $t = x^2$ với $t \geq 0$ rồi giải phương trình bậc hai theo $t$.
Vì sao cần thử lại nghiệm?
Phép biến đổi (khử mẫu, bình phương) có thể sinh nghiệm ngoại lai.
Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là gì?
Các mẫu thức đều khác $0$.
Có những dạng nào quy về bậc hai?
Trùng phương, chứa ẩn ở mẫu, chứa căn và dùng ẩn phụ.