Bất phương trình bậc hai một ẩn: cách giải, bảng xét dấu, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10
Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c > 0 (hoặc <, ≥, ≤) với a khác 0. Cách giải ba bước bằng xét dấu tam thức, các trường hợp vô nghiệm và nghiệm đúng với mọi x, ví dụ và bài tập có đáp án.
Bất phương trình bậc hai một ẩn là gì?
Bất phương trình bậc hai một ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $<$, $\geq$, $\leq$) với $a \neq 0$. Cách giải chung là xét dấu tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ rồi chọn khoảng thỏa mãn.
Ba bước giải
- Đưa bất phương trình về dạng $f(x) \ \square\ 0$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- Tìm nghiệm của $f(x)$ và xét dấu $f(x)$ (dùng định lí về dấu).
- Chọn các khoảng thích hợp, chú ý có dấu bằng hay không.
Xem bài: Dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ
Ví dụ 1
Giải $x^2 - 3x + 2 > 0$.
Nghiệm $1$ và $2$, $a > 0$ nên $f > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 2$.
$S = (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.
Ví dụ 2
Giải $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$.
Nghiệm $1$ và $3$, $a < 0$ nên $f \geq 0$ khi $1 \leq x \leq 3$.
$S = [1; 3]$.
Ví dụ 3
Giải $x^2 + x + 1 > 0$.
$\Delta = -3 < 0$, $a > 0$ nên đúng với mọi $x$.
$S = \mathbb{R}$.
Ví dụ 4
Giải $x^2 - 2x + 3 < 0$.
$\Delta = -8 < 0$, $a > 0$ nên $f > 0$ với mọi $x$.
$S = \emptyset$.
Điều kiện để bất phương trình đúng với mọi x
| Bất phương trình | Điều kiện |
|---|---|
| $ax^2 + bx + c > 0$ với mọi $x$ | $a > 0$ và $\Delta < 0$ |
| $ax^2 + bx + c < 0$ với mọi $x$ | $a < 0$ và $\Delta < 0$ |
| $ax^2 + bx + c \geq 0$ với mọi $x$ | $a > 0$ và $\Delta \leq 0$ |
| $ax^2 + bx + c \leq 0$ với mọi $x$ | $a < 0$ và $\Delta \leq 0$ |
Xem bài: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
- Giải $-2x^2 + 3x - 1 > 0$.
- Giải $x^2 - 4x + 4 > 0$.
- Giải $x^2 + 2x + 5 < 0$.
- Giải $x^2 - x - 6 \geq 0$.
Đáp án
- Nghiệm $2$, $3$; $S = [2; 3]$.
- Nghiệm $\dfrac{1}{2}$ và $1$, $a < 0$; $S = \left(\dfrac{1}{2}; 1\right)$.
- $(x - 2)^2 > 0$ nên $S = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
- $\Delta = -16 < 0$, $a > 0$ nên $f > 0$ với mọi $x$; $S = \emptyset$.
- Nghiệm $-2$ và $3$; $S = (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Dấu của tam thức bậc hai
Bài tiếp theo: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số bậc hai
Câu hỏi thường gặp
Bất phương trình bậc hai một ẩn giải thế nào?
Tìm nghiệm của tam thức, xét dấu rồi chọn khoảng thỏa bất phương trình.
Khi nào bất phương trình vô nghiệm?
Ví dụ $f(x) < 0$ với $a > 0$ và $\Delta \leq 0$.
Khi nào nghiệm đúng với mọi $x$?
Ví dụ $f(x) > 0$ với $a > 0$ và $\Delta < 0$.
Cần chú ý gì khi có dấu bằng?
Lấy cả các nghiệm của tam thức, dùng ngoặc vuông.