Dấu của tam thức bậc hai: định lí, bảng xét dấu, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10

Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c phụ thuộc dấu của a và biệt thức delta. Định lí về dấu, bảng xét dấu cho ba trường hợp, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.

$Dấu của tam thức bậc hai: định lí, bảng xét dấu, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10$

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ phụ thuộc vào dấu của $a$ và vào biệt thức $\Delta$. Có ba trường hợp, và quy tắc nhớ gọn là: "trong trái, ngoài cùng" (trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a$, ngoài khoảng thì cùng dấu $a$).

Định lí về dấu

Trường hợp	Dấu của $f(x)$
$\Delta < 0$	Cùng dấu $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
$\Delta = 0$	Cùng dấu $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$, bằng $0$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta > 0$	Trái dấu $a$ trong $(x_1; x_2)$; cùng dấu $a$ ngoài đoạn $[x_1; x_2]$

Xem bài: Tam thức bậc hai

Bảng xét dấu khi Δ > 0

Dấu của $f(x)$	$(-\infty; x_1)$	$(x_1; x_2)$	$(x_2; +\infty)$
$a > 0$	$+$	$-$	$+$
$a < 0$	$-$	$+$	$-$

Ví dụ

Ví dụ 1

$f(x) = x^2 - 3x + 2$: nghiệm $1$ và $2$, $a = 1 > 0$.
$f(x) > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 2$.
$f(x) < 0$ khi $1 < x < 2$.

Ví dụ 2

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$: nghiệm $-1$ và $3$, $a = -1 < 0$.
$f(x) > 0$ khi $-1 < x < 3$.
$f(x) < 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 3$.

Ví dụ 3

$f(x) = 3x^2 - x + 2$: $\Delta = 1 - 24 < 0$, $a > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x$.

Xem bài: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét dấu $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Xét dấu $f(x) = -x^2 + 4x - 3$.
Xét dấu $f(x) = x^2 - 2x + 1$.
Xét dấu $f(x) = 2x^2 + x + 3$.
Với giá trị nào của $x$ thì $x^2 - 4 \leq 0$?

Đáp án

Nghiệm $2$ và $3$, $a > 0$: $f > 0$ khi $x < 2$ hoặc $x > 3$; $f < 0$ khi $2 < x < 3$.
Nghiệm $1$ và $3$, $a < 0$: $f > 0$ khi $1 < x < 3$; $f < 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 3$.
$f(x) = (x - 1)^2 \geq 0$, bằng $0$ tại $x = 1$ và dương với $x \neq 1$.
$\Delta = 1 - 24 < 0$ và $a > 0$ nên $f > 0$ với mọi $x$.
Nghiệm $\pm 2$, $a > 0$: $f \leq 0$ khi $-2 \leq x \leq 2$.