Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế: tối ưu thể tích, diện tích, chi phí và bài tập có đáp án Toán 12

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế giúp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích, diện tích, chi phí, lợi nhuận. Các bước mô hình hóa, lập hàm một biến, khảo sát bằng đạo hàm, ví dụ làm hộp không nắp, rào vườn và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế: tối ưu thể tích, diện tích, chi phí và bài tập có đáp án Toán 12$

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế chủ yếu là bài toán tối ưu: tìm kích thước để thể tích lớn nhất, diện tích lớn nhất, chi phí nhỏ nhất... Cách làm là biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm một biến, rồi dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Các bước giải

Chọn biến $x$ và tìm điều kiện (miền xác định) của $x$.
Biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm $f(x)$.
Tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$, lập bảng biến thiên (hoặc so sánh giá trị trên đoạn).
Kết luận kích thước và giá trị tối ưu kèm đơn vị.

Xem bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: làm hộp không nắp

Đề bài

Từ tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm, cắt bỏ bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.

Lời giải

Điều kiện $0 < x < 6$. Thể tích $V(x) = x(12 - 2x)^2$.
$V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$.
$V' = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (loại $x = 6$). $V' > 0$ khi $x < 2$, $V' < 0$ khi $2 < x < 6$ nên $V$ đạt max tại $x = 2$: $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128\ \text{cm}^3$.

Ví dụ 2: rào vườn

Lời giải

Dùng $100$ m hàng rào để rào mảnh vườn hình chữ nhật. Gọi một cạnh $x$ ($0 < x < 50$) thì cạnh kia $50 - x$, diện tích $S(x) = x(50 - x)$. $S' = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x = 25$. $S$ lớn nhất bằng $625\ \text{m}^2$ khi vườn là hình vuông cạnh $25$ m.

Xem bài: Bài tập tổng hợp khảo sát hàm số

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Với $100$ m hàng rào, rào hình chữ nhật một mặt dựa vào tường. Tìm diện tích lớn nhất.
Tìm hai số dương có tổng $20$ để tích lớn nhất.
Tìm $x$ để hàm $V(x) = x(8 - 2x)^2$ ($0 < x < 4$) đạt max.
Chi phí $C(x) = x + \dfrac{100}{x}$ ($x > 0$). Tìm $x$ để $C$ nhỏ nhất.
Vì sao phải xét miền xác định của biến?

Đáp án

Chiều dài song song với tường là $100 - 2x$: $S = x(100 - 2x)$, $S' = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$, $S_{\max} = 1250\ \text{m}^2$.
$x(20 - x)$ lớn nhất tại $x = 10$: tích $100$.
$V' = (8 - 2x)(8 - 6x) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}$.
$C' = 1 - \dfrac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 10$, $C_{\min} = 20$.
Vì kích thước phải dương và thỏa điều kiện hình học của bài toán.