Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất: tiệm cận xiên, cực trị, đồ thị và bài tập có đáp án

Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất y = (ax² + bx + c)/(dx + e): chia đa thức để tìm tiệm cận xiên và tiệm cận đứng, tìm cực trị bằng đạo hàm, bảng biến thiên. Ví dụ y = (x² − x + 1)/(x − 1) và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất: tiệm cận xiên, cực trị, đồ thị và bài tập có đáp án$

Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ ($a, d \neq 0$): chia đa thức để viết $y = \alpha x + \beta + \dfrac{\gamma}{dx + e}$, từ đó đồ thị có tiệm cận xiên $y = \alpha x + \beta$ và tiệm cận đứng $x = -\dfrac{e}{d}$. Hàm số thường có cực đại và cực tiểu.

Ví dụ: khảo sát y = (x² − x + 1)/(x − 1)

Lời giải

1) Tập xác định $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Chia: $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$.
2) $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$, $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 1$ hoặc $1 < x < 2$.
Cực đại $y(0) = -1$; cực tiểu $y(2) = 3$. Tiệm cận đứng $x = 1$; tiệm cận xiên $y = x$.
3) Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0; -1)$, không cắt $Ox$ (vì $x^2 - x + 1 > 0$), nhận $I(1; 1)$ làm tâm đối xứng.

$x$	$-\infty$	$0$	$1$	$2$	$+\infty$
$y'$	$+$	$0$	$\|\|$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$-1$	$\|\|$	$3$	$+\infty$

Xem bài: Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Các bước chung

Tìm tập xác định và chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.
Tính $y'$, giải $y' = 0$, lập bảng biến thiên, nêu cực trị.
Tìm giao điểm với trục và vẽ đồ thị với các tiệm cận bằng nét đứt.

Xem bài: Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Chia đa thức để tìm tiệm cận xiên của $y = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$.
Tìm cực trị của $y = x + \dfrac{4}{x}$.
Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{x^2}{x - 2}$.
Hàm $y = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ có tiệm cận xiên nào?
Đồ thị loại hàm này có tâm đối xứng không?

Đáp án

$y = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1}$: tiệm cận xiên $y = x + 1$.
$y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$: cực đại $(-2; -4)$, cực tiểu $(2; 4)$.
$y = x + 2 + \dfrac{4}{x - 2}$: tiệm cận đứng $x = 2$, tiệm cận xiên $y = x + 2$.
$y = x + \dfrac{1}{x}$: tiệm cận xiên $y = x$ (và tiệm cận đứng $x = 0$).
Có, giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.