Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b)/(cx + d): tiệm cận, đồ thị và bài tập có đáp án

Q: Tiệm cận của hàm này?

Đứng $x = -\dfrac{d}{c}$ và ngang $y = \dfrac{a}{c}$.

Q: Tâm đối xứng ở đâu?

Giao điểm của hai tiệm cận.

Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b)/(cx + d): đạo hàm y' = (ad − bc)/(cx + d)², luôn đơn điệu trên từng khoảng, tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c, tâm đối xứng. Ví dụ y = (2x − 1)/(x + 1) và bài tập có đáp án.

$Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = (ax + b)/(cx + d): tiệm cận, đồ thị và bài tập có đáp án$

Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0$, $ad - bc \neq 0$): tập xác định $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$, đạo hàm $y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$ nên hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định và không có cực trị. Đồ thị có hai tiệm cận vuông góc: $x = -\dfrac{d}{c}$ và $y = \dfrac{a}{c}$.

Tính chất tổng quát

Yếu tố	Kết quả
Đạo hàm	$y' = \dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$
$ad - bc > 0$	Đồng biến trên mỗi khoảng xác định
$ad - bc < 0$	Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
Tiệm cận đứng	$x = -\dfrac{d}{c}$
Tiệm cận ngang	$y = \dfrac{a}{c}$
Tâm đối xứng	Giao điểm hai tiệm cận $I\left(-\dfrac{d}{c}; \dfrac{a}{c}\right)$

Xem bài: Khảo sát hàm số bậc ba

Ví dụ: khảo sát y = (2x − 1)/(x + 1)

Lời giải

1) Tập xác định $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
2) $y' = \dfrac{2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$, không có cực trị. Tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 2$.
3) Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0; -1)$, cắt $Ox$ tại $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$, nhận $I(-1; 2)$ làm tâm đối xứng.

$x$	$-\infty$	$-1$	$+\infty$
$y'$	$+$	$\|\|$	$+$
$y$	$2 \nearrow +\infty$	$\|\|$	$-\infty \nearrow 2$

Xem bài: Khảo sát hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$.
Xét tính đơn điệu của $y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$.
Tìm tâm đối xứng của $y = \dfrac{2x}{x + 3}$.
Tìm giao điểm của $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ với hai trục tọa độ.
Hàm $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ có cực trị không?

Đáp án

Tiệm cận đứng $x = 2$, tiệm cận ngang $y = 3$.
$y' = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0$: nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
$I(-3; 2)$.
$Oy$: $(0; -1)$; $Ox$: $(1; 0)$.
Không.